Passons aux équations du second ordre: ce que

nous allons en dire s'appliquera facilement aux équations d'un ordre quelconque.

Soit

une équation du second ordre, résolue par rapport aj" : admettons que, pour une valeur x^ de la variable indépendante, on se soit donné arbitrairement les valeurs correspondantes ^o^jr'©; il viendra

et si Ton pose x^^=x^'^tsjr^ \x désignant une quantité très-petite du premier ordre, on aura, aux quantités près du second ordre,

puis

et ainsi de suite; en sorte que la série de valeurs par lesquelles passe chacune des fonctions ^',^, peut être calculée arithmétiquement avec une approximation indéfinie.

Si l'équation {e) est de la forme

et que^' atteigne une valeur tî qui fait évanouir ^y, y^ s'évanouira, et par suite^ conservera, à partir de cette époque, une valeur constante. La proposée aura pour intégrale première singulière ^=7î'; et l'intégrale de celle-ci, ^^':i=yi'x-|-c, satisfera à la proposée, mais sans en être l'intégrale générale^ puisqu'elle ne renfermera que la constante arbitraire c.

Si la proposée se met sous la forme

et que^ atteigne une valeur vi qui fait évanouir <p^, y

CONSTRUCTION DES EQUATIONS DIFFIÉRENTIELLES. 349

s^évanouira; mais comme eu même temps ^' a une valeur en génëral différente de zéro, j^ et^" prendront aussi, dans l'instant suivant, des valeurs différentes de zéro. Par conséquent l'équation ^/^=»i, qui est une intégrale singulière de la proposée, sans constante arbitraire, ne représentera point, à aucune époque, la suite des valeurs par lesquelles doit passer la fonction j^ lorsque la variable indépendante x désigne le temps ou une quantité croissant avec le temps, à moins toutefois que^' ne s'évanouisse en même temps que ^y.

On pourrait donner plus de généralité à ces remarques , comme nous l'avons fait pour les équations du premier ordre ; mais il suffit que ce sujet soit indiqué.

522. Considérons encore le système des équations simultanées [Sic]

{pdy +yxY — %ta/y =?o , xy -^t {xf — x'y) =z= o ; et posons xj — t^=^iy ce qui les changera en

a"4-4M = o, iit{u-+'t*)x'=:i{t^+u't — u)x. Lorsque t^x^jr auront atteint des valeurs qui annulent la fonction w, w' s'évanouira, et par suitijja fonction u restera constamment nulle : on aura pour déterminer x l'équation atx'=x, d'où x^=a^L Les intégrales générales des équations proposées sont

Supposons, afin de fixer les idées, a>o : ce système représentera les valeurs de x^jy pour les valeurs de r< - ;

mais, pour ^ > - , les valeurs de j?,^ seront données par le système

xy — i*rzio , x*=za^t ,

qui représente l'intégrale singulière des proposées.

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