CHAPITRE PREMIER

DE l'intégration DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉREN- TIELLES TOTALES. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

523. Si ron 'd, entre les variables indépendantes .z,^', et la fonction z qui en dépend, une équation de la forme

l'intégration de cette équation se ramène aux. quadratures [393], pourvu que les fonctions 9,^ satisfassent à la condition d'intégrabilité

d<f d^ dy dx

Si les fonctions <p, ^ renfermaient la variable z, ou si l'on avait entre les variables x^y^z et leurs différentielles totales, l'équation

Xrf^ + Yrf7-|.Zrfz=:o, (1)

X, Y,Z désignant^ des fonctions de .r,/,2, on ramènerait encore aux quadratures l'intégration de cette équation [396], pourvu que les fonctions X^ Y,Z satisfissent aux

conditions d*intégrabilité

dX.dY d^^ dY dri.

dy dx dz dx dz dy et rintégrale aurait la forme ¥(a:^j^^z)=consL, F désignant la fonction dont le membre de l'équation (i) est la différentielle exacte.

Dans tous les cas y en admettant qu'il existe une fonction z de deux variables indépendantes ^v^j', propre à satisfaire à l'équation (i), et d'où l'on puisse tirer la valeur de dz sous la forme

dz = pdx + qdjr , il faut qu'on ait

dp dq .

djr dx

mais, en vertu de l'équation (i),

d'où

^P— yzy yzy dz\ \lj \zj y

^~"" I dy "^ dz *^) dy "^ Tz Z^

</a; I ^te e/z «ir] û^J? dz Z

de sorte que l'équation (2) donne, après les réductions ,

Lorsque cette dernière équation, qui exprime la condition d'intégrabilité , est satisfaite, l'intégration de l'équation (i) se ramène à celle des équations à deux variables. En effet, si Ton avait l'intégrale de l'équation (ï), et qu'on la différentiât en y traitant z comme une

constante, le résultat obtenu devrait coïncider avec l'équation (i) après qu'on y a fait dz nul, c'est-à-dire avec

I équation

X^- + Yrf7 = o. (4)

Réciproquement, si l'on désigne par \l le facteur qui rend Xûtr-j-Y^ une différentielle exacte , lorsqu'on y regarde z comme une constante^ et si l'on pose

/^(Xrf^-+-Yrfr) = F(x,7),

l'équation (i) aura pour intégrale

¥{x,r)==Zr, (5)

Zj désignant une fonction de la seule variable z. Afin de la déterminer, remarquons que l'on a

dF . d¥ , dF ^ dZ,j — da:+-T-'dj'+ •-j-dz:=i-^- dz , dx dy '^ dz dz

et d'autre part

'j^dx+-j~djr=\LÇLda: + Ydy) =—^Zdz ,

dl^ dF „ ,.,

Il faut donc, si Téquation (3) est satisfaite, que les deux variables x^y s'en aillent à la fois du second membre de l'équation (6), quand on chasse l'une d'elles au moyen de l'équation (5j; ou, en d'autres termes, il faut que la dérivée de ce second membre, prise par rapport à:f, soit nulle, lorsqu'on y considère^ comme une fonction de ^ et de Z,, donnée par l'équation (5). Ainsi, la condition qu'il s'agit de vérifier, est exprimée par l'équation

dx dy dx

j£qUATION$ aux DIFFiR£NTI£LL£S TOTALES. 353:

OU par

d'F dZ rff* Y <aPF ^2;f5i>^

dxdz ^dœ dx \dydz dy dyjX ' ^^

dy en remettant pour -r- sa valeur tirée de rëqualion (4).

On a d'ailleurs

£^£^2 rfz ^ dz dz

d'Y rf.fxY dY ^rffji.

= JI. --r--f- X -7- >

dydz dz dz dz

et le facteur [i satisfait [444] ^ l'équation de condition

dy dx ^ vrf/ â^x/

Si maintenant on substitue dans l'équation (7) les

valeurs de

d'¥ d'F rffx

tirées des trois dernières équations, les quantités

s'en vont en même temps, et l'on retombe sur l'équation (3), qui exprime la condition d'intégrabilité.

524. Lorsque cette équation n'est pas satisfaite, il n'existe pas une fonction z de deux variables indépen* dantes x^jy^ susceptible de vérifier l'équation (1); ce qui revient à dire que cette équation n'exprime plus une propriété dont puissent jouir les coordonnées x^j'yZ d'une certaine surface. Cependant l'équation (i) n'est pas dépourvue pour cela de toute signification, et rien n'empêcbe qu'elle exprime, par exemple, une propriété commune à une série de courbes, dont x^y^z désigneraient les coordonnées courantes [aôS et 267] ; seule- T. II. a3

354 LIVRB VII. CHAPITRE I.

ment il n'existe pas de surface qui soit le lieu géométrique de toutes ces lignes. Si Ton établit une liaison arbitraire entre jr et x, ce qui revient à tracer arbitrairement la projection d'une de ces lignes sur le plan xy, z devient fonction de la seule variable indépendante x^ et l'équation (i), construite comme une équation diffêrentielle ordinaire, détermine la projection de la même ligne sur le plan xz^ pourvu seulement qu'on donne un point par lequel cette projection doit passer. L'intégration de l'équation (i) consiste dans ce cas à trouver entre les coordonnées finies x^y^ z un système d'équations renfermant une fonction arbitraire, et d'où l'on puisse tirer, par une détermination convenable de la fonction arbitraire, toutes les lignes dont les coordonnées jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation différentielle proposée.

Or, la solution de ce problème dérive immédiatement de l'analyse qui nous a conduit à l'intégration de l'équation proposée, lorsqu'elle satisfait à la condition d'iotégrabilité; car si, dans le cas contraire, au lieu de déterminer la fonction Z^ qui entre dans l'équation (5),

on pose

f désignant une fonction arbitraire, et ensuite

j.^-vZ=Yz, (9)

les valeurs de x^y en fonction de z, qui vérifieront les équations (8) et (9), vérifieront aussi l'équation proposée, dont l'intégrale sera exprimée en conséquence par le système des équations (8) et (9), conte.nant la fonction arbitraire 9 et sa dérivée.

Supposons qu'il s'agisse d'exprimer que la ligne dont

lÎQUATlONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 355

les coordonnées courantes sont x^jr^ z, est déterminée par le contact d'une surface conique ayant son centre au point ix^yX^^ Zo), et d'une surface de révolution autour de Taxe des z : les coordonnées des points situés sur cette ligne devront vérifier à la fois [249 et gi54] les équations

z — z,=p{x — x,) + q {x-^yo)j (10)

pjr — qx = o, (11)

dz t= pdx + qdjr , d'où l'on tire, par l'élimination de /? et de q,

dz xdx + ydy

Cette équation ne satisfait pas à la condition d'intégrabilité, tant que 0:09/0 ne sont pas nuls: on a dans ce cas

au moyen de quoi les équations (8) et (9) deviennent

x{x — :Fo) + r(r — r^ , , on

z— — Zj,

L'équation (1^), ou le système des équations (i3) qui en est l'équivalent, appartiennent donc à toutes les lignes qui jouissent de la propriété géométrique définie ci-dessus.

On aurait pu modifier l'énoncé du même problème, en demandant quelle est l'équation de la surface qui se trouve comprise à la fois dans la famille des surfaces coniques caractérisées par l'équation (10) et dans celle des surfaces de révolution caractérisées par l'équation (11). L'équation (la) à laquelle on est conduit pour exprimer cette double condition, ne satisfaisant pas à la condition d'intégrabilité tant que ^09 ^"0 ne sont pas

nuls, il en résulte que, dans le cas général, une telle surface n'existe pas. Lorsque x^^y^ sont nuls, 1 équation (la) s'intègre et donne

c désignant la constante arbitraire. Cette équation appartient à tous les cônes droits qui ont leur centre au point de Taxe des z dont l'ordonnée est z^\ et il est bien évident qu'en effet ces cônes droits satisfont au problème ainsi énoncé.

En mettant l'équation (12) sous la forme dz \x{x—x^ +7 (/— Jo) ] = (^— ^o) {xdx -\'ydy) , on voit qu'elle est satisfaite par Téquation z — Zo=o, sans qu'on ait besoin de supposer nulles les coordonnées x^^y^. Ainsi le plan mené par le point (^b^J^o? -So)? perpendiculairement à l'axe des z^ est une surface qui satisfait à l'énoncé du problème; mais cette solution n'est que singulière, comme le montre bien la forme de l'équation ci-dessus, et l'on n'y trouve pas la constante arbitraire essentielle à l'intégrale complète.

* 525. Lorsque l'équation proposée n'est pas linéaire par rapport aux différentielles dx^ dj^ dz^ elle n'est susceptible de satisfaire à l'équation (3), et d'avoir en conséquence pour intégrale complète une équation entre ,r,^,2 et un paramètre arbitraire, qu'autant qu'elle peut se décomposer préalablement en facteurs linéaires. Cependant, parmi les équations non linéaires qui ne satisfont pas à cette condition préalable d'intégrabilité, il y en a encore qui comportent une signification géométrique, et qui sont susceptibles de s'intégrer, avec toute la généralité requise , moyennant l'introduction de fonctions arbitraires.

Ainsi le problème de la rectification des courbes

planes consiste à intégrer Téquation différentielle à trois

variables

ds* = dx^ + dx% (i4)

qui ne peut point se décomposer en facteurs linéaires, ni comporter pour intégrale une équation unique entre jc^y^s et une constante arbitraire, mais dont néanmoins l'intégrale générale peut s'écrire sous une forme plus complexe.

En effet, il est permis démettre l'équation (i4) sous la forme

ds^ == (é/^cos a - — dysiii a)' -4- {dx sin fi + dy cos a)^,

a désignant un angle arbitraire ; et par suite on peut remplacer cette équation par le système de deux autres

ds ?= dx CQS a — dy sin a , djç Au ti -{' dy cos a :;:;= o ^ qui ont pour intégrales

^ = ^cosa — j^sina + g, J7sin a+Jcosa=Y » (*^) ^,Y désignant d'autres constantes arbitraires. Mainteuant que le système (i5) nous fournit une solution particulière de l'équation (i4)? il s'agit de généraliser cette solution ; et pour cela, suivant la méthode déjà appliquée dans le chapitre YIII du quatrième livre, nous poserons d'abord p=ça, yi^^^a, puis nous égalerons à zéro les dérivées des équations ( 1 5) par rapport à a, considéré maintenant comme variable. Ce calcul donne

0=; — ;rsina — jcosa-^-cp'a , :i;cosa — jsina=<J*'a ,

d'où i(OL — \(f9,j ^'cL — tf'aL. Conséquemment on satisfera à l'équation (i4) par le système des trois équations

Sz=.x cos a — y sin a + cpa , a?sina+jcosa = <p'a , a: cos a — j sin a = ^'V ,

dans lequel la fonction ? reste arbitraire, ou par le sys-

358 LIVRB VII. — CHAPITRE I.

tème suivant qui s'en déduit,

jf z= <p'a , sin a + (p''a . cos a,

j = îp'a • cos a — cp"a • sîn a , (16^

J = «pa + ?' a ;

et d'où Ton tire en effet

eia? =: ( (p'a + (p'"a ) cos a doi , rfj = — ( 9'a 4- ?"'«) sin a rfa , rfj = (9'otH-?"'oi)rfa, valeurs qui vérifient bien évidemment l'équation (i4)- Si l'on assigne la forme de la fonction 9 y on aura l'équation de la courbe plane dont SyXjj désignent respectivement l'arc, l'abscisse et l'ordonnée, en éliminant a, si c'est possible, entre les deux premières équations (16), et la valeur de l'arc en fonction de x ou de^, en éliminant a entre la troisième et la première ou la seconde des équations de ce groupe. Si l'on donne au contraire l'équation de la courbe

on y substituera les valeurs précédentes de x et de^, ce

qui donnera une équation différentielle du second ordre, entre a et 9a , dont l'intégration complète doit amener deux constantes arbitraires. Or, dans ce cas, la troisième équation (16) donnerait aussi la valeur de s avec deui constantes arbitraires; tandis que cette valeur ne comporte essentiellement qu'une constante arbitraire, en raison du choix arbitraire de l'origine des arcs. Voici comment cette difficulté a été levée par M. Poisson, d'après une remarque analogue de Lagrange [49^] •

Quand on différentie l'équation '{f) et qu'on y substitue pour dxy dy leurs valeurs en fonction de a, il vient

i ~ cos a — -J~ sin a j ( cp'a -4- :p'"a ) rfa = o ,

^QUATIOirS AUX DIFFI^RENTIELUSS TOTALES. 359

équation qui se décompose en deux autres

^'a + <p'' a = o , -j- cos a — ^ sm a = o .

La première s'intègre immédiatement et donne

9» + ?''« = consL ; mais cette solution ne satisfait pas à la question, puisqu'on en conclurait s=const. La seconde équation ne contient pas 9"'a, et elle est du second ordre par rapport à 9i aussi bien que l'équation (/). Si donc on élimine (f^'a entre ces deux équations du second ordre , on obtiendra une équation du premier ordre , qui sera une intégrale singulière de (f) : en intégrant de nouveau , on aura la valeur de fa, et par ^ite celle de s avec une seule constante arbitraire.

* 526. Le système des équations (i6) n*est pas le seul qu'on puisse poser comme équivalent à l'équation (i4)- Il est clair que l'on satisferait à cette équation par le système de valeurs particulières

a:=as + 0L y X=zS \/i — a* + p ,

dans l'expression desquelles a^ a, ^ désignent des constantes. Donc on satisfera aussi à l'équation (i4) par le système de formules

ar = 5(pa+a, x = s\/^i — (<pa)* +^fji , (17)

dans lesquelles (p^ ^ désignent des fonctions arbitraires de la variable a, assujetties à vérifier les équations dérivées

Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire ainsi qu'il suit :

çpa =0, ^«H — = 0

par oîi l'on voit que la première s'identifiera avec la quatrième, si l'on détermine la fonction 9 de manière à satisfaire à la relation

En même temps la seconde équation, qui est la dérivée de la première par rapport à a, s'identifiera avec la dérivée de la quatrième ou avec la seconde dérivée de la troisième : la fonction 9 se trouvera éliminée , et l'on aura, pour satisfaire à l'équation (14)9 ^^ système des trois équations

^— a+0 — »^a)tj;^a = o, | (19)

à l'inspection desquelles on reconnaît que a, ^J'a et j désignent les coordonnées parallèles aux x et aux^, et le rayon de courbure de la ligne qui aurait pour développée celle dont x^y sont les coordonnées courantes [190 ^^ sid\>,^ 344 ^^ 49^]-

Si l'équation (i4) était remplacée par cette autre plus générale

la même analyse donnerait, au lieu des équations (19), fx — a r — ^fî\ dF rf'F