CHAPITRE IL

DE l'intégration, EN TERMES FINIS, DES JÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.

527. On a vu [i66 et suîi^.] comment se pratique l'élimination des fonctions arbitraires entre une équation à plusieurs variables indépendantes et ses dérivées; et comment , par cette élimination, on tombe sur une équation aux différences partielles, qui a autant de généralité que l'équation primitive, et dont cette équation primitive est l'intégrale. Ce sujet a été repris avec plus de détails, en vue des applications à la théorie des surfaces, dans les chapitres VII et VIII du quatrième livre. Maintenant il s'agit d'exposer les procédés les plus généraux qu'on emploie pour remonter d'une équation aux différences partielles à son intégrale; quand cette intégrale peut s'exprimer sous forme finie, ou en séries convergentes d'un nombre infini de termes, avec les signes reçus dans l'analyse. D'ailleurs les équations aux différences partielles, considérées en elles-mêmes, indépendamment des accidents de forme qui font qu'elles admettent ou qu'elles n'admettent pas des intégrales analytiques, ont une signification et une valeur propres qui doivent faire l'objet d'une étude particulière et d'une discussion directe : c'est par cette discussion . que nous terminerons le présent livre.

équation avec ses dérivées partielles du premier ordre. 529. Appliquons cette analyse à Téquation à trois variables

et supposons en premier lieu que les fonctions X, Y, Z se réduisent à des nombres con$tants P, Q, R ; les équations (c) deviennent

Rtftr — Prfz=?o, Kdjr — Qrfac=o, et elles conduisent aux intégrales

Rx — Pz=a,, Rj — Qzf=sa^; (2)

de sorte que la proposée (1) a pour intégrale générale

Rr — Pz = <p(R7- — Qî).

Cette équation caractérise la famille des surfaces cylindriqueSy et les équations (2) sont celles des droites génératrices [247].

Conservons à X, Y leurs valeurs constantes P, Q, et posons Z = z: on aura pour éiquations différentielles à intégrer

T?{fy' — Qrfa:=o, zdx — Prfz = o, d'où

Pr— Qa?=aj, z=:a^e ; ce qui met l'intégrale de la proposée sous la forme

Z=:7.^Pjr-Qx). (3)

Enfin, si nous prenons pour dernier exemple l'équation

pa: + qX:=n]/x*-^X% (4)

nous aurons à intégrer les équations différentielles à deux variables

:çdz = nda: i/iT^T^, xdjr ^^ydx = o :

la seconde clonne/=:a, x, et la première devient , par la substitution de cette valeur de y y

dz==ndx[/i^a*j d'où z=;ti/i-j-û«.x+a,, -^ et en remettant pour a^ sa valeur,

£n conséquence Fintégrale est

530. Le propre des intégrales complètes (t/) est de satisfaire aux équations (c) immédiatement ^ en ce sens que les valeurs de du, dxy dy, dz, etc., tirées des déri- . vées des équations (û?), rendent les équations (c) identiques, sans qu'on ait besoin de revenir aux liaisons établies entre les variables £/, Xyj, Zy etc., par les mêmes équations {d) ; puisque ces liaisons dépendent des constantes «„ «a, etc., et que les équations {d\ ou leurs dérivées, doivent vérifier les équations (c), quelles que soient les valeurs assignées à ces constantes arbitraires. Inversement, et par une raison contraire, si les équations (c) admettent des intégrales singulières

?. (^i/jVî ...«)= O, .. . ?a(^,7,2l A . . . W) =0, j ^ ^

les dérivées de celles-ci ne vérifieront les équations [c] qu'autant que l'on tiendra compte des liaisons exprimées par les équations ($); ou, en d'autres termes, il faudra combiner les équations (^) avec leurs dérivées, pour satisfaire au système des équations (c). Cela posé, chacune des équations (S) satisfera à l'équation (6), ou à l'équation {a) dont celle-ci est une transformée ; mais on ne satisferait pas à l'équation {U) en prenant pour F une fonction arbitraire des quantités (p,, (p^,. . .(p«, ou une fonction arbitraire dans laquelle entreraient, en

totalité ou en partie, les quantités <p,, 9,, . . . <p„, associées aux quantités f^, f.,. . .f„^ prises aussi en totalité ou en partie. Donc l'équation (a) n'admet pas d'autre intégrale complète que celle oîi les quantités f,, f.,. . .f„ entrent exclusivement sous le signe de fonction arbitraire, mais elle est satisfaite par chacune des équations (8) ; et ces équations sont des intégrales singulières de l'équation {a)y puisqu'elles ne se trouvent pas renfermées dans l'intégrale complète.

Prenons pour exemple l'équation linéaire du premier ordre à trois variables

/^— ?(t+'^ — ^^*+r+^)=T— •^ + V^**+j^ + «> (5) dont l'intégration est subordonnée à celle des équations différentielles simultanées

que l'on peut remplacer par

et qui ont pour intégrales complètes,

La seconde de ces intégrales donne naissance à Tintégrale singulière

^*-hr + ^ = o. (6)

Chacune des équations

donne pour p ^^ q des valeurs qui , mises dans l'équation (5), la rendent identique : en conséquence, l'équation (5) a pour intégrale complète

— a? + ï/x»-l-r + z = iKz — a:— 7), vj; étant une caractéristique de fonction arbitraire. Au contraire, l'équation (6) donne pour p el q des valeurs

]£QCAT10]fS DU PREMIER ORDRE. 367

qui, substituées dans l'équation (5), ne satisfont à cette équation qu'autant qu'on tient compte de Téquation (6) pour supprimer le radical qui entre dans l'équation (5). Dès lors l'équation (6) ne satisfait à la proposée (5) qu'en qualité d'intégrale singulière.

Si l'on met l'équation (4) sous la forme équivalente

dF dF ^ dF

on trouvera de même qu'elle admet pour intégrale singulière l'équation

ou le système des équations .r= 0,^1=0.

* 531. Soient ^, /, 2, etc., des variables indépendantes en nombre n; u, Vj w, etc., des fonctions de ces variables en nombre /n -|- i, qui doivent vérifier le système des m -h i équations aux différences partielles, linéaires et du premier ordre :

„ du -.T^u „du

- dif -- d{f „ d^ -^da:+^dr-^^dz+'''-

=xf+Yf+zj^ + etc., dx ay dz '

etc.,

dans lesquelles U, V, W, etc. ; X, Y, Z, etc., désignent des fonctions quelconques de toutes les variables dépendantes et indépendantes. Soient

des fonctions des mêmes variables, qui, mises à la place de F, rendent identique l'équation

-.rfF TT^F -ï.r^^F

U -j- + V-^+ W j- + etc.

du ac; dw

- rfF ,, rfF -, rfF ,„.

ou bien des fonctions telles que le système dVquations différentielles simultanées

du dv dw dx. dy dz

ait pour intégrales complètes

fi==«x) fa=^»> f3 = «3î» • -fm+ii^^ûfli+n:

le système des équations (A.) aura pour intégrales complètes

^i(fofa)f3V^fl«4-«)^=^> ^a(fx>f«>f3vffli+'»)=®vl/AN . . .<l^«i+i{fofa,f3»- • •fj«+0 = <^J I

<^,9 €^29 • • • ^M+i étant des caractéristiques de fonctions arbitraires. Voici comment ce théorème remarquable a été établi par M. Jacobi :

Désignons par X,, X,,. . .X„|.^ des quantités auxiliaires telles que les rapports de Tune d'entre elles à toutes les autres soient déterminés par te système d'équations linéaires, en nombre m :

rfO d<^ ^jnA^^

etc.; et posons pour abréger

nous aurons , en différenliant successivement chacune des équations (*^) par rapport à la variable indépendante Xj

d^^ «to, du d^, dp d^y dw \

da: du dx dv . dx dw doù * '

rf«I>, rf<i>, du d^^ d\f rf^, dw

dx du dx dv dx dw dx * ' )i^')

dx du dx dif dx dw dx *

Multiplions les équations {\) respectivement par

— ^ , etc., l'équation (a) par -y-, et ajoutons, en tenant compte des équations (O') : il viendra

On trouverait de même

etc. /

Mais, parce que les fonctions f, et par suite les fonctions ^, mises à la place de F, vérifient l'équation (B), on a identiquement

au dif dx dy

U — r-^+V — P- + etc.-i-X — — -+Y — r-2--+etc.=o. du d\f dx dy q

Multiplions ces équations respectivement par \j ^9 . • .

X^^.,, et ajoutons, en ayant égard aux équations (^',) : il

vient

T __ du -, du , du U = X ^ +Y-r 4-Z ,- + etc.:

dx dy dz

370 LIVRE VII. CHAPÏTHK ir.

cest-à-dire, que nous retombons sur la première des équations du système proposé, et Ton prouverait de même que toutes les autres équations sont vérifiées.

^^5 2. De rintdgratioo des équations non linéaires du premier ordre ^

à trois variables.

. 532. La méthode exposée pour l'intégration des équations linéaires du premier ordre a été étendue par Lagrange aux équations quelconques du premier ordre^ mais à trois variables seulement. Soit

une équation de cette forme , que nous différentierons

successivement par rapport à chacune des variables ia-

dépendantes x, /, en ayant égard à Féquation de con-

,. . dq dp ,. . , cittion "7=-= -f- : Il viendra (Ix ajr

" dz dx dp dx dq dj"^

" dz djr dp dx dq dy^ et si Ton y joint Téquation identique

^ dp^^ dq—dp dx^ dqdy' ^^^^

on aura un système de trois équations entre les variables indépendantes x^j et les trois variables z, p^ q^ considérées comme fonctions des deux autres : système de même forme que le système (A) du n® précédent. Ainsi Tintégi^ation des trois équations aux différences partielles (y)) et (^) dépend de celle des quatre équations différentielles ordinaires f df ^ df\dx df f df df\dr df , ,

On tire de ces quatre équations

ce qui doit être, puisque les variables x^j, 2, /?, q sont liées par l'équation (/). Dès lors il suffira de prendre les trois équations {g) et {g^\ qui ne coirtiendront que les variables x, j-, z, p^ après qu'dn y aura rais pour q sa valeur en x, 7, z^p^ tirée de l'équation (/). Si nous désignons leurs intégrales complètes par

le système (g) et (g,) aura pour intégrales géaérales l'équation proposée {f\ combinée avec les suivantes

dans lesquelles 0,, <^, entrent comme caractéristiques de fonctions arbitraires. Mais la généralité de cette solution doit être restreinte, en raison de ce que les fonctions p^q sont tenues de vérifier les équations aux différences partielles

dz dz

ou l'équation aux différences totales

dz =^pdx + qdf. Çij

533. Des équations (/) et (h) on peut tirer les expressions de a:, j, p^ q en fonction de z, a, , «2, «3 , ou de Zj fi , fa, fs; et si Ton chasse a:, j, p, q de l'équation (î), on aura la relation entre f,, fa, fg, à laquelle doivent satisfaire les équations (H), pour pouvoir être regardées comme des intégrales de l'équation proposée.

Or, lorsque Ton considère or, y^ p^ q comme des fonctions de z^ f i , fa , fa , l'équation {i) devient

Mais, en vertu des équations (g)^ Ton a ce qui réduit l'équation pk*écédente à

P.rff,H-PA + P3rff3=0, (/)

quand on pose , pour abréger,

dx dy ^ dx dy ^ \

dx dr ^ ( \ y

On a aussi

-/ dx dy\ dP, Ydz'^^Tz) dp dx^ dq dy dz df^ dz ' rff , dz ' di^

r dp dx dq dy\ \df/di'^dr,"di)'

ou plus simplement , en vertu de l'équation {k\

dP^ dp dx dq dy / dp dx dq dy\ ^ dz dz dï, dz dfj \dft dz d(, dzj^

et si nous substituons dans le second membre, pour

dx dy dp dq dz dz dz dz

leurs valeurs données par les équations {g)^ (gi) et (^2)? en posant en outre, afin de simplifier l'écriture,

'¥ df n

PTp-^nq-^^

il viendra

dz ~ dz P Kdx'dX, "^ rf/rff . ■•" dp'di, "^ d^dfj

~ dz' p di.

Mais on a identiquenient^,^= o , après qu'on a substitué

dans /^ pour x,y, p, q leurs valeurs en z, f|, fa, f,,

qui satisfont à la proposée : donc l'équation précédente

se réduit à

I ^ __ i df

P," dz P*5Ï'

«t par la même raison Ton a

I ^__i ^ I rfP, I df

d'où, en intégrant «t en désignant par Fi, Fa, F3, des fonctions de f| , f^ y fa , qui ne contiennent plus z,

.A.îl/^ -/ï.^r* -n.^rf.

En conséquence l'équation (/), équivalente à (/), se réduit, après la suppression du facteur commun, à

F,rff, + F,rff, +F,rff3=o. (»)

Lorsque les fonctions fi, f^^f^ auront été déterminées par les équations (A), les fonctions P| , P2 , P3 seront connues, en vertu des équations (m); et par la suppression du facteur commun en z^ dont on vient de démontrer Texistence, on connaîtra de même la composition des fonctions F| , F^ , F3 en f 1 , fa, fa- Cela posé, l'équation aux différentielles totales (a) s'intégrera toujours [5a4] par le système de deux équations renfermant une fonction arbitraire de l'une des quantités fi, f^ifs» -et la dérivée, de cette fonction arbitraire. On aura ainsi le système de. toutes les intégrales particulières, ou l'intégrale générale de l'éqUation proposée.