Mais on peut y arriver aussi d'une manière plus

rapide : en effet , Téquation fi=ai est évidemment une solution particulière de l'équation (n) ; la résolution de cette équation , où Ui désigne une constante et fi une fonction connue de x^jr^ z,p, donnera

et ensuite on aura , par l'équation ( /),

Ces valeurs , substituées dans la formule (/), rendront le second membre une différentielle exacte, puisqu'elles doivent conduire à une solution de l'équation proposée. Si donc on intègre par la méthode connue [SqS] réquation

dz = (p(;r,/,a,a J . dx 4- 4<^,7,2^ , ) • ^T, on obtient une équation de la forme

a^ étant une autre constante introduite par la nouvelle intégration ; et cette équation qui renferme deux constantes arbitraires, satisfait à l'intégrale proposée dont elle est une intégrale particulière.

Donc l'équation

F(d7,7,j8,a,,'cfei,)=o, {xi)

où rS est employé comme caractéristique de fonction arbitraire, est aussi une intégrale de la proposée, qui se trouvera pareillement satisfaite si l'on détermine â| en fonction de x^ jTj z par l'équation

Conséquemment le système des équations (xi) et {xi) représente, à cause de la fonction arbitraire xi qu'il renferme , l'intégrale générale de la proposée ; et Ton en déduira chaque intégrale particulière, par l'élimination de Ui entre ces deux équations, après qu'on aura particularisé la fonction arbitraire xA,

Il est visible , quand on se reporte à la théorie de l'enveloppement des surfaces [livre IV, chap. VIII], que l'équation (o) est celle des surfaces enveloppées qui ont la propriété de satisfaire à la proposée ; tandis que les surfaces enveloppes qui y satisfont d'une manière plus générale, à cause de l'indétermination de la liaison éta- . blie entre les deux paramètres variables de l'enveloppée, sont représentées par le système des équations (xi) et

Les familles de surfaces, caractérisées par des équations aux différences partielles du premier ordre, à trois variables, se distribuent donc essentiellement en deux groupes. L'un 'se compose des surfaces dont 'l'équation différentielle caractéristique est linéaire par rapport aux coefficients p^ q : en sorte que l'intégrale générale est donnée par une équation unique comprenant une fonction arbitraire , et que la surface est définie par le mouvement d'une ligne génératrice qui peut varier de forme en même temps qu'elle se déplace. L'autre groupe comprend les sur&ces dont Téquation aux différences partielles n'est plus linéaire : d'où il résulte, d'une part, que l'intégrale générale est donnée par le système de deux équations où entrent à la fois la fonction arbitraire et sa dérivée; d^autre part, que les surfaces qu'elle représente peuvent être considérées comme autant d'enveloppes. Selon que les équations différentielles simultanées, à l'intégration desquelles on ramène celle do réquation proposée aux différences partielles, ont ou n'ont pas d'intégrales algébriques, les lignes génératrices ou caractéristiques sont ou ne sont pas des courbes algébriques : mais cette circonstance accessoire ne change rien à la distribution dont nous parlons.

535. Appliquons l'analyse qui précède à lequatiou aux difFérences partielles

qui est [261] celle des surfaces-canaux, à section circulaire constante : l'équation (gi) devient pour ce' cas

et, par sa combinaison avec la proposée,

dp K'dz

équation dont l'intégrale est

a' désignant la constante arbitraire. La proposée donne ensuite

et la formule (/) devient

d'où, en intégrant et en désignant par ^ une nouvelle constante arbitraire,

— V^R* — z' = oo? -4- y/TZ^.y + p.

Si nous changeons de constantes, comme cela est permis, en posant

1 équation précédente prendra la forme

et elle appartiendra au cylindre droit, qui fait fonction d'enveloppée développable pour les surfaces-canaux, à section circulaire constante.

ÉQUATIONS DU PRKMIBll ORDRE. 377

536. Il ne sera pas inutile d'indiquer quelques cas particuliers où l'on peut arriver à l'intégrale plus rapidement qu'en suivant la méthode générale. Soit , par exemple ,

l'équation proposée qui appartient à une famille de surfaces développables [^45 et !i66]j caractérisée par la

forme de la fonction donnée II : on a

et en intégrant par parties ,

z = ^lly H- çx —f{x\Mq -f- y)dq.

Pour que l'intégration indiquée soit possible, il faut

poser

^II'5'-f-7 = ç'y; et alors on a

2=0711^ •+• qy — çpy.

Donc le système des équations

renfermant l'indéterminée a, la fonction arbitraire ç et sa dérivée 9', représente l'intégrale générale de la proposée.

Soit encore l'équation

on pourra poser

/(;,^)=a=*(y,r), d'où

L'intégration par parties donne

quand on pose , pour abréger,

378 UVttfe vil. CHA.P1TRE II.

Donc Tititégrale générale consiste dans le système des

deux équations

- -. rfX rfY ,

OÙ f désigne une fonction arbitraire»

Enfin , si l'on avait l'équation

z^—pq^o,

sa forme indiquerait qu'elle admet pour intégrale particulière l'équation

a,p désignant des constantes arbitraires: donc l'inté^ grale générale est donnée par le système

537. Nous avons exposé la méthode de Lagrange pour l'intégration des équations aux différences partielles du premier ordre , avec les perfectionnements qu'y a apportés M. Jacobi. Lorsque 1 équation n'est pas linéaire par rapport aux différences partielles, et que le nombre des variables indépendantes surpasse deux^ l'intégration générale de l'équation aux différences partielles se ramène encore, mais par des procédés plus compliqués y à celle d'un ou de plusieurs systèmes d'équations différentielles tirdinaires. On peut consulter le mémoire de Pfaff dans le volume de l'Académie de Berlin pour 1814» le Journal de mathématiques de M. Crelle, T. II et XIII, et celui de M. Liouville, ï. III, oii se trouvent consignées les récentes .et belles recherches de M. Jacobi sur ce sujet important, qui sort du cadre des éléments. -

x>£ i.'izrT]sGaATioN , sir tebmes finis , pes équations AUX diff:ér£NC£S partielles des ordres suférieurs,

A TROIS YARI ABLES« — REMAUQUES 9VK LES HTTÉORALEîi SINGULIÈRES ET SUR LES INTEGRALES PARTICULlJîRES DES lÊQUATIONS AUX DIFFl^RENCES PARTIELLES.

§ i^**. De rintëgratiqp y en termes finis , des équations aux dîfKrences partielles du second ordre , à trois variables.