Considérons d'abord l'équation du second ordre

RrH-S5+T/ = V,

linéaire par rapport aux dérivées du second ordre r, s, t: R, S, T, V désignant des fonctions quelconques des variables x^^yZ et des dérivées p^q. L'élimination de r,/, au moyen des équations

dp ==: rdx -H sdy, dq == sdx + tdy^ (a)

donne

Rdpdy + Hdqda: — Yd^dy = s (Rrfj* — Sdxdy + Tctr») .

Posons séparément

Kdpdx + Tdqdx — Yd^da: = o , (*)

Rrfjr' — Se&rfr + Tflte» =:= o ; (c) joignons-y

dz =:^pdsc + qdy ; {d)

et admettons qu'on puisse satisfaire à ces trois équations entre les cinq variables x, /, z, p, g, par des équations de la forme

réquation

satisfera à la proposée dont elle sera une intégrale du premier ordre ; et, à cause de Findétermination du signe <?j cette intégrale aura toute la généralité qu'elle comporte.

Pour établir cette proposition , mettons l'équation (c) sous là forme

Rj'*-S/-|-T = o, W

et désignons par^\ l'une de ses racines : l'équation [b] devient

Les équations (e) ont pour dérivées

dL , dL , dL , dt\ , dL ,

-d.+^^dr+f^dz+^dp+^dç=o,

ou bien, en remplaçant dj" p&rjr\dx, et en chassant dz,dq, au moyen des équations {d) et (^i),

[dî, , df, , ' ,. df, Vr', df.l .

Ces dernières équations doivent être identiques, puisque, par hypothèse, les équations (e) vérifient le système {b)y (c), (d); et ainsi l'on a séparément