ÉQUATIONS DES ORDUKS SUPERIEURS

dp T" ■ </y~" '

D'autre part, l'équation (/) donne

«/f, ^ dt\ . , df. , , dt, . dï, .

et celle-ci , quand on y met pour

^ dx dp dx dp leurs valeurs tirées des équations {d) et (e'), devient

Rr'. ''/' + T</^ — v/. ûtr = («^ — y, <fe) * , (^)

en posant, pour abréger,

Remettons dans l'équation (^) pour dp^dq leurs valeurs

tirées des équations (a), et nous aurons

(Rj',r + T* — V/. H- il/.ya: + (R/.* + T^ 4>) rf^= o .

Puisque !os variables x^j sont indépendantes ^ il Ëiut qu'on ait séparément R/i'-H-T^— V/, + ^y, = o, R7> + Tf— ^ = 0 •

Mais de là on conclut que l'équation {g) satisfait à là proposée, quelle que soit la forme de la fonction (p qui n'entre que dans ^; car, si l'on tire des équations précédentes les valeurs de r/ en fonction de Sj pour les

382 LIVRK vu. — CHAPITRE III.

substituer dans la proppsée, 4> disparaît, et il reste

i(Ry\-s/.+'f) = o,

équation identique , puisque y'x désigne une racine de réquation (ci).

539. Pour éclaircir ce calcul par quelques exemples, supposons d'abord que les coefficients B^S^T se réduisent à des constantes, et qu'on ait y=o : les racines de Tequation (ci) seront aussi des nombres constants nti^mi^ en employant la première racine, on aura pour intégrales des équations (c) et (A),

d'où l'on conclut que la proposée a po^ur intégrale première

L'emploi de la racine nhi donnerait de même

A cause de la relation niim2^=^^j ces deux intégrales

premières peuvent être mises sous la forme et l'on en déduit

en posant , pour plus de simplicité ,

Si l'on substitue ces valeurs dep,q dans l'équation (rf), il vient

dz=={dy—m4x) . cp( j— /w,^)— (rf;r— w^ûila;) .^(j—m^x) , d'où, eu intégrant et en désignant par ^^^ les fonctions

EQUATIOirS DES ORDRES SUPÉRIEURS. 383

qui ont pour dérivées les arbitraires 9 et — f^^

Les deux fonctions arbitraires qui entrent dans cette intégrale de la proposée, lui donnent toute la généralité qu'elle comporte.

Soit

la proposée devient

et elle a pour intégrale complète

z=z^{X — aa:) + W{jr + ^^) • (a)

L'équation (i) qui exprime la loi des vibrations transversales d'une corde élastique, et celle de la propagation du son dans un tuyau cylindrique, est la première équation aux différences partielles dont on ait trouvé l'intégrale générale. Les recherches des géomètres , à propos de cette équation, sur laquelle nous reviendrons dans les chapitres suivants, ont fondé la physique mathématique , et créé une branche nouvelle de l'analyse. Si le terme V n'était pas nul, et s'il renfermait seulement la variable indépendante a:, on serait conduit à ajouter aux premiers membres des équations (h) le terme

— ~ JYdxy et à la place de l'équation {{) l'on aurait

2=^ j dx tydx+^{X — m^x)+W{x — ^1^) •

540. Cette analyse demande à être modifiée, dans le cas où le terme V contient à la fois les iJeux variables x^jy et dans celui où les racines niiym^ sont égales; ce qui fait que les deux fonctions arbitraires 4»,V se confondent en une seule, et que la valeur de z n'a plus la

généralité requise. Considérons d'abord le premier cas : nous aurons pour Tune des intégrales premières

p+rn,q—^jYdx=^'^,{jr—m,a;) = <f{x—m^) .

L'intégrale yTflilr est prise dans l'hypothèse où l'on a dy — m^dx =:Oj d'où j— */n,^=a,;

en sorte qu'il faut d'abord substituer dans V cette valeur de^, intégrer ensuite par rapport à Xy puis remettre pour ai sa valeur^ — niiX; ce qui donne

/étant une fonction connue , qui se tire de V par une simple quadrature.

La* valeur de p^ substituée dans {d) y donnera donc dz=q(djr — m^dx) +f{x^ — '/«,a7)«rf:r + <p (/ — m^ai). dx ,

équation qui s'intégrera si l'on peut intégrer conjointement les deux équations différentielles ordinaires

dy* — m^dx-zzio , dz=z[f{x,y~m^x) -+-9(7— m.or)] dx .

La première donne

au moyen de quoi la seconde devient ^^= ! / [^ï «. + {rn^—m^)x] +<p [«, 4-(m.— m,)a;] | da:^ (/) et elle a pour intégrale

P2 désignant une constante arbitraire, ^ une fonction arbitraire, et F une fonction connue, qui se tire de y au moyen d'une quadrature. L'intégrale de la proposée sera P2=^a2iOÙ il faudra substituer pour ao, P2 leurs valeurs fournies par {k\ {jn) : or, cette substitution donne

lÊQUATJOirS DES ORDRKS ftnPÉRJfiU»i6. 385

541. Passons au cas d'égalité âes racines niiy m^^ et, pour simplifier, prenons V=:o : on a, en supprimant les indices qui deviennent inutiles,^ — mx-=.tJL^dj'=mdXy P'^mq=.^{^y^ — /wj;)=<pa, et l'équation {d) devient

dz:=:<fa . dx , d'où z — a?«pa=: p ;

en sorte que la relation ^zzz^ol donne pour l'intégrale

z=:a:<f{y — ma:) + ^{x — mx); («)

et comme les fonctions arbitraires 9, ^ ne se confondent plus, cette intégrale a la généralité requise. Ceci §'applique à l'équation [^5i]

B^r — 2 ABj -f- AV = o ,

qui est celle des surfaces réglées dont la génératrice reste constamment parallèle à un plan directeui* AjC'-^'Bjrzzzo : on a pour l'intégrale complète

^ =:r(p (Aa? + B/) -f- ^ (Ax 4- B/) .

Les mêmes surfaces ont pour équations aux différences partielles, quand le plan directeur est celui des^ ,

q*r — npqs +p*t ==z o .

Les équations (c) et {b) deviennent alors

pdx -f- qdy =zdz = o , qdp — pdq = o :

on a, en les intégrant, z=ayp=^g'j ce qui donne pour intégrale première de la proposée pz=zq^z. Afin de passer à l'intégrale seconde, on substitue cette valeur de p dans l'équation (t/), et il vient

dz = q (<pjs . tLc + dy) , formule dont l'intégration se ramène à celle des équations différentielles ordinaires

dzc=io y çz . ûfo H- rf/ =z o .

Mais celles-ci ont pour intégrales z=a, ,j::9a,-|-/=:p,; ce qui donne pour l'intégrale seconde de la proposée,

X^Z +jrz=i^Z . (o)

T. II. a5

542. Enfin nous avons trouvé [aSo] pour l'équation aux différences partielles qui caractérise l'ordre des surfaces réglées à directrices rectilignes,

x^r + 2,xys +x'i = o •

Les équations (c) et (6) deviennent^ dans ce cas,

xdjr — ydx^zzo , xdp + jrdq = o ,

et elles ont pour intégrales^ = olx^ p-i^aïq^zi^^ d'où l'on tire

pour l'intégrale première de la proposée. En substituant, comme à l'ordinaire, la valeur de/? dans l'équation (e/), on a

ûlr=:<^r- J . dx + q(dx — - ctr j î

ce qui conduit à intégrer les équations différentielles xdjT' — jrdxz=zo , dz — ?(-) • da:z=z o .

L'intégration donne^^'^z^aiX, z — ^:r:<pai=pi; et l'on trouve, en conséquence, pour l'intégrale seconde de la proposée.

On peut remarquer l'analogie de forme des équations (/i), (o), (/?), qui toutes trois rentrent dans le cas d'égalité des racines de l'équation (c^).

543. La méthode exposée ci-dessus, d'après Monge, et dont nous venons de faire diverses applications, tombe en défaut lorsque le système des équations {à\(c)j (d)j dans lesquelles entrent, en général , les cinq variables X, /, Zj Pj Çj et qu'on ramène par l'élimination à une équation différentielle entre trois variables, ne satisfait pas aux conditions d'intégrabilité. Soit, par exemple.

EQUATIONS DES ORDRES SUPJÂRIRURS. 387

réquatiou proposée

les équations {c) et {b) deviendront, pour m,=:± i,

^pdx dxz^dx = o, dpz^dq £:— = o ;

mais y quel que soit le signe adopté, l'équation en dp^ dq, dx ne satisfait p 's à la condition d'intégrabilité[5i23]. Cependant l'équation (^) a pour intégrale eu termes finis

z=:.fi^{y^x) + ^{X—x)—xli{y + x)—^\y—x)'\ , comme on s'en assurerait a posteriori; et la théorie de la construction des équations aux différences partielles montrera que cette intégrale a toute la généralité requise, à cause des deux signes de fonctions arbitraires (p,i];.

§ a. De l'intëgration des équations linéaires aux diffërences partielles, à trois variables et d'un ordre quelconque.

544. Parmi les équations aux différences partielles , d'un ordre plus élevé que le second, nous nous bornerons à considérer ici l'équation linéaire à trois variables

da^ daf^^dy dod^-^dy^

A,B,C,. . . G,H désignant des coefficients constants. Prenons 2=cp (y-|-/wx) : il viendra

et Ton satisfera à la proposée, pourvu que la constante m soit une des n racines /w, ^rrC y,,m,^^ de l'équation al-

gébrique

Am'»+Bw«-'-hCw'»-'4-. +G/w + H=o, (r)

Doue on pourra prendre , à cause de la forme linéaire de la proposée,

<Pi? «Pa- ?ii étant employées comme caractéristiques de fonctions arbitraires distinctes. On s'assurerait d'ailleurs que cette valeur de z a toute la généralité que peut comporter l'intégrale de l'équation proposée.

545. Il n'en .serait plus de même si l'équation {r) avait des racines égales, par exemple , m\-=^m^ , car alors les deux fonctions cp^, cp, se confondraient en une seule: mais si l'on pose dans ce cas

on a

^jj^ =/«,»-' [ ç w+o;? «] + ( « — I )«x"->.<»-" , etc. i en sorte que la substitution dans la proposée donne

et il devient évident que cette valeur de z satisfait à la proposée, puisque, par hypothèse, m, est une racine double de l'équation (r). Donc on peut prendre dans ce cas

. * = ?r (j -f- w.o; ) + ;îr(p, (7 -4r /w,a: )

4" 93(7 —m^ ) + 4-?n(7— •'Wn-^) 7

le nombre des fonctions arbitraires distinctes restaut égal à n.

RKMAKQUES SUR LES IPITltGRÂLES SlirOlILliRïS. 389

§ 3. Remarques sur les iotëgrales tiiigulières et sur les intégrales particulières des équations aux difTérences partielles.

546. Considérons une équation aux. différences partielles du premier ordre

délivrée de radicaux et de dénominateurs : et soit

une solution de cette équation, dans laquelle n^entre pas de fonction arbitraire, et qui peut être, Ou une intégrale particulière, ou une intégrale singulière. Si c'est une intégrale particulière, il sera permis de représenter l'intégrale générale par

<p désignant une fonction de Xyj, e, qui ne s'évanouit ni ne devient infinie quand on y fait e=o [477]- En substituant dans la proposée, on trouve, pour déterminer la partie de (p indépendante de la constante s, l'équation

^ dz^ dp dx^ dq dy ""' ^^'^

dans laquelle les différences partielles

dz dp^ dq se rapportent à la valeur z=f(ar,^). D'ailleurs on peut s'assurer que la partie de 9 indépendante de e doit renfermer le même nombre de fonctions arbitraires que la valeur complète de 9; en sorte que la considération de cette partie de f suffit pour reconnaître la nature de la solution (f).

Cela posé, si la valeur 2=f(a:,^) donne

sans qu'il en résulte

on ne peut satisfaire à Téquation (ç^) qu'en prenant <p=o; de sorte que la solution (f), n'étant pas susceptible de se compléter comme l'indique réquation (f), constitue une intégrale singulière de la proposée.

Ainsi la recherche des intégrales singulières consiste à déterminer les valeurs de 2 en ^ , ^, qui satisfont à la fois aux équations (y*) et (j?, qy)y en éliminant y?, ^ entre ces mêmes équations. Il faut, de plus, s'assurer que ces valeurs de z ne vérifient paà l'équation (z).

Appliquons ceci à Téquation des surfaces-canaux

on aura pour les équations (p, q)^ 2*^=1=0,2*^=0. On ne peut pas en tirer z=o, car la proposée ne serait pas satisfaite, et au contraire l'équation (z) serait vérifiée; mais les solutions /7=o, ^=0, conduisent à rintégrale singulière z^ — R^zmo.