CHAPITRE PREMIER

CALCUL DES DIFFERENCES FINIES ET DES IINTEGRALES AUX DIFFÉRENCES Ï'INIES, POUR LES FONCTIONS EXPLI- CITES d'une SEULE VARIABLE.

582. Nous avons, dès le commencement de ce Traité [livre I, eh. IV], considéré les différences finies entre les valeurs que prend successivement une quantité variable, et nous les avons désignées par la caractéristique A placée devant la variable; nous avons opéré sur la série de ces différences comme sur la série primitive, en prenant les différences des termes consécutifs, de manière à former des différences du second ordre désignées par la caractéristique A* , et ainsi de suite. Mais nous n'avions alors pour but que d'arriver à la théorie des différences infinitésimales des divers ordres, et de poser les principes du calcul différentiel , auquel se rattache tout ce que Ton connaît jusqu'ici de plus important dans la théorie des fonctions. Cependant il existe entre les différences finies des divers ordres et les variables dont elles dérivent, des relations qui méritent aussi d'être développées , et dont le développement donne

444 LIVRE YllI. CHAPITRE 1.

naissance à une autre branche de la théorie des fonctions que Ton nomme le Calcul des différences finies. C'est le sujet dont l'exposition sommaire terminera le présent ouvrage.

Désignons par

une série de valeurs de la quantité^, au nombre de /^-f- 1 : on aura [43]

n ^ nin — i) ^ n[n — \){n — 2)

Cette formule, où la valeur ^„ gç trouve exprimée au moyen de la valeur initiale jo et de ses différencesjusqu'à celle de l'ordre n inclusivement, peut s'écrire symboliquement

7„ = (i + A)«jro, W

ainsi qu'on la expliqué dans le n® cité.

Réciproquement, la différence \"j'o peut s'exprimer au moyen des termes de la série (^„) : ainsi l'on trouve par des substitutions successives

Aro=7x— Jo, A>o=ra— 27,4-7„, A37„=j3— 3jr,+3j,— 7o, etc. Toutes ces équations rentrent dans la formule . n n(n — i) n(n — i)(n — 2)

^y,p=rn— Y 7n-x -h \ ^ Vf>-a —TTï — ' ^"^^

à laquelle s'applique sans difficulté le tour ordinaire de démonstration de proche en proche. Admettons en effet que la formule (b) subsiste pour l'indice n: on aura

A"+'7o=A"7.— A"7o=7„+. Xn+

~r ^ ~^^±ir I (^"^'>r (^+0K^-0 ,. . etc.;

DIFFÉRlïWCKS FmiES. 445

en sorte que la formule subsistera encore pour l'indice /^-f-i. D'ailleurs elle peut s'écrire symboliquement

pourvu que l'on convienne de changer après le développement les exposants de j^* en indices, et d'écrire jr© au lieu de l'unité dans le dernier terme du développement.

583. Considéronsjr comme une fonction d'une autre variable x, de manière que le passage de la variable x par les valeurs successives

entraîne le passage de la fonction j par les valeurs correspondantes

le calcul des différences de la fonction ^=/i:, a pour .objet d exprimer ces différences en fonction des différences de la variable .r, d'après la forme assignée à la fonction/

La supposition la plus simple qu'on puisse faire, consiste à admettre que la variable x croît par intervalles égaux^ en sorte que les séries (x^ et (^„) deviennent

^o, x^-i'^XJX^ + n^x , x^ + 3^x , x^'\' nùkPc ;

fxJ{x,+ÙLr),f{x,+'i\x),f{x,+Zlix), . . . .f{x.+ntix).

Dans cette hypothèse , rien n'empêche de prendre Aj: zzz 1 ; car si l'on avait ùijc=ihf h étant une constante différente de l'unité, il suffirait de poser j:=.ro-*-//i, pour que^ devînt fonction d'une nouvelle variable i, qui croît par intervalles égaux à l'unité.

Si la variable x ne croissait pas par intervalles égaux, le calcul des différences de la fonction^ ne deviendrait un problème déterminé qu'autant qu'on exprimerait la

446 LIVRE Vni. CHAPITRE I.

loi suivant laquelle se succèdent les valeurs de la quantité X. Il faudrait donc que chaque terme .r. de la série {x^ prît une valeur déterminée par cela seul qu on assignerait la valeur numérique de l'indice i^ ou qu'on eût j;,=f/. Mais alors/ deviendrait aussi une fonction de if dont on pourrait prendre les différences, en admettant que la variable dont elle dépend passe par la série des nombres naturels, et en conséquence croît par différences constantes, égales à l'unité.

-Celte variable i , qui désigne l'indice ou le numéro d'ordre d'un terme, dans la série à laquelle il appartient, est donc la variable essentiellement indépendante, dont on peut concevoir que toutes les autres variables dépendent, et qui remplit ici (en vertu d'une analogie philosophiquement très-remarquable) le rôle que remplit la variable t désignant le temps, dans la théorie des fluxions.

En général, une série de termes qui varient d'après une loi déterminée , est susceptible de se prolonger indéfiniment dans deux s^ns, en avant et en arrière d'un terme pris arbitrairement pour origine ou pour point de départ. On devra donc, en général, concevoir que la variable / passe par la série des nombres entiers , tant positifs que négatifs , sauf à rejeter une portion de la série dans les applications à des questions particulières.

584. La variable i, désignant un indice ou un numéro d'ordre, est essentiellement discontinue ; mais les variables x,/ peuvent représenter des grandeurs continues; et, bien que le calcul des différences ne porte que sur des séries de valeurs séparées par des intervalles finis, les résultats du calcul doivent s'interpréter diffé-

DIFFÉRENCES riNIES. 447

remment, suivant qu'ils s'appliquent à des grandeursf essentiellement continues ou discontinues. Considérons en effet lés deUx séries

• • • • T'-S) ^— a?/-o/oj^i>^a) Xzj • • • • J^n • • • • (p)

iT-s, Ajr,, A7„ Ij^, Ij, , Ar^Aja, . . . . à7< , (y)

et pour simplifier, admettons que le terme général de chacune d'elles soit donné immédiatement en fonction de l'indice /. Il est clair qu'on pourrait ajouter à chaque terme de la série (c) une constante arbitraire C, sans que cela amenât de changement dans la série (y), dérivée de la première. Réciproquement, étant donné le terme général A^,, ou la série (y), si l'on peut trouver par un moyen quelconque une fonction ^, qui ait A^, pour dilBFérence du premier ordre, il faudra ajouter à^, une constante arbitraire C pour construire la série (c), sans lui rien ôter de la généralité qu'elle comporte.

Par conséquent encore, la série (c) ne sera complètement déterminée au moyen de la série (y), qu'autant qu'on assignera la valeur numérique d'un terme de la première série , par exemple la valeur numérique du terme^o- En ceci l'analogie'des différences avec les différentielles se soutient parfaitement.

Supposons maintenant qu'il ne s'agisse plus seulement de construire des séries, mais que, les variables xety désignant dés grandeurs continues, on ait pour toutes les valeurs possibles de y et de x^

7=/x, ^x=:f{x•\•^)—fx=^i{x,x+^): (f) on pourra remarquer que la fonction f ne changerait pas, non-seulement si l'on ajoutait à fx une constante arbitraire C, mais encore si l'on ajoutait kfx une fonction périodique

xS(:r, Sx)

448 LIVKE Vfll. — CHAPITRE I.

^ui repreud les mêmes valeurs chaque fois que x augmente de A^ , et qui d'ailleurs peut avoir une forme quelconque. Donc^ par réciprocité, si la fonction f est donnée , et qu'on puisse trouver par un moyen quelconque une fonction y qui ait f pour différence, la fonction j' sera encore indéterminée, non-seulemeot quant à sa valeur numérique , mais quant à sa forme.

Pour construire, au moyen de l'équation (f),.une courbe dont jr est l'ordonnée, il faut concevoir que l'on ait préalablement tracé, d'une manière arbitraire, la portion de courbe MN {^g- io3), dont les poÎQts extrêmes ont pour abscisses OP=Xo, OQ=^o -h Ao:; en s'assujettissant cependant à la condition que la différence HN des deux ordonnées extrêmes soit la valeur de 1/ donnée par l'équation ( f ) quand on y fait a:z=j:o^ Ija courbe sera déterminée alors, dans tout le surplus de sou cours : car, soit Op=:x une abscisse quelconque comprise entre x^ et x^+^x j on prendra />^=Aj:, et la différence hn des ordonnées pnij qn sera donnée en vertu de l'équation (f)..Donc le tracé de l'arc MN déterminera, concurremment avec l'équation (f), le tracé de l'arc NN, , dont les points extrêmes ont pour ordonnées .To-f-A-r, Xo-f-aAo: ; et comme la même construction peut être indéfiniment répétée, tant dans le sens des x positifs que dans le sens des x négatifs, le tracé de la courbe entière se trouvera déterminé. Bien entendu que ce tracé peut offrir des solutions de continuité d'un ordre quelconque.

585. L'opération qui consiste à revenir du terme A^, au terme ^„ ou h, construire la série [c) par le moyen delà série (y), est une sommation proprement dite. En effet , l'on a identiquement