DIFFÉRENCES FINIES

rf^jo + Ajo+Arx + A/aH hA/i-x ;

en sorte que, par une simple addition algébrique, on construira la série (c) avec la série (y) , pourvu qu'on ait en outre le terme initial j^ , qui tient lieu de la constante ou de la fonction arbitraire dont il vient d'être question , selon que j est une variable discontinue ou continue.

De même qu'on emploie le signe /'pour indiquer une somme de différentielles, ou une intégrale proprement dite , on emploie le signe 2 pour indiquer une somme proprement dite, ou une intégrale aux différences finies. Les caractéristiques 2 , A sont inverses l'une de l'autre, et s'effacent réciproquement , comme les caractéristiques f, d. Ainsi, de la formule précédente on tire

27<= 27o -H/o +7x +ï^ •+•.... +r<-. , (rf) et le terme ^y^ désigne alors la constante ou la fonction arbitraire amenée par l'intégration.

En adoptant une notation analogue à celle qu'on emploie maintenant pour les intégrales définies ordinaires, on écrira

. 2/^ — 2jo = ^o'j,- , et par suite

Nous avons déjà employé, d{)ns le coursde cet ouvrage, la caractéristique 2 comme signe de sommation ; et quelquefois la notation

sert à désigner d'une manière abrégée la somme des valeurs de la fonction^/, pour toutes les valeurs de l'indice «, de /=io jusqu'à «=/, inclusivement. La formule {e) montre qu'il faut exclure de cette somme le T. II. 29

dernier terme /i, lorsqu'on prend la caractéristique 2 pour signe d'une intégrale aux différences finies.

Dans le cas contraire^ on lèvera toute ambiguïté en remplaçant 2 par S , et en écrivant

L'opération dont le signe 2) est l'indice, peut se répéter indéfiniment y de même que l'opération inverse, indiquée par le signe A , et la répétition de l'opération s'indique de la même manière par un exposant affecté à la caractéristique. Ainsi l'on tire de la formule (d)

r/, = r7o + 2>o+r7, + r7,+ ... +2><-. , etc.

Comme 2;^,, Xy^y. . .2;k<~i sont déterminés en fonction de ^jo p^r là formule {d), on voit que l'expression de ^ji renferme deux constantes ou* fonctions arbitraires, savoir 2^^ et 2;^o- La valeur de .2^7 dépend de ces deux quantités arbitraires, et en outre d'une troisième quantité de même nature J?jo* £n général , l'intégrale indéfinie "jr, dépend de n constantes ou fonctions arbitraires, selon la nature de la quantité^.

586. En désignant par {/, if^Wy. . . des fonctions quelconques d'une mêikie variable, et par a une constante ^ on a évidemment

A('«H-(/-f-«'H- )=Att + At' + AH;;+ ,

2(Mrh(^ + «'-H ) = 2a+2j'+2«'+ .... ,

A./ZK=aA« , 2.att=:a2«.

Le procédé de l'intégration par parties [55J s'applique aux intégrales 2 comme aux intégrales ordinaires. Si Ton pose