ap = ^2w — 2(A«'2aJ

Le même calcul répété donnera

"L.uvznzçlu — Ap2»a,-4-2(A»(/£»«,) , 2 . «(/ =: i;2a — Ai;2*«, H- WI,\ — 2 (A V2^a3) ,

2 . tt(> z=: (^2w — ^4^^^u^ + AV2^«, — - A^2;2*ii3 + etc. On peut écrire cette dernière équation sous la forme 2.«^ = i'2tt — At'(2'a + 2M)

+AV(2'tt+ 22'm-4-2«)— A3i<2*«+323tt+32*tt4-2tt)+ etc. Le développement s'arrêtera lorsque les différences de la fonction i^, après un nombre sufBsant de différentiations, deviendront constantes.

587. Admettons quejr=/i soit une fonction entière et rationnelle de a: : cette fonction se composera d'une somme de termes de la forme Aaf'y A désignant un nombre constant et m un nombre entier positif, .de §orte que la différentiation des fonctions rationnelles entières se ramène à celle de la fonction /= a:".

Posons donc

^o = ^"*, r, = (^-»- A^)"*, etc. :

on aura, par la formule du binôme, en ordonnant suivant les puissances décroissantes de Xy

A/o= A.o:'" =/w^'»-^'Ar H ^ ^^ ^»»—*Ar* + . . , (g)

452 LIVRE VIII. CHAPITRE ï.

et par suite, en ordonnant toujours de la même manière, A*jo=A* .af^=im{rn — i)jF"-"'Aa:* +

On trouverait de même

A'.j;*=/n(/n — 1)('» — a) ar*""' Aj;' -h . . . ,,

et généralement

/Sf.af'^=m{m — i)(m— a) {m — i-*-i)a:*— Aor^^- ;

A* • jc* ce qui résulte d'ailleurs de ce que le rapport ' . doit

se réduire à ]• , quand on fait à la limite Aa:=o.

Donc on a

A"'.^=iw(i» — i)(m — a) S.a.i.Aj;* , (h)

et comme cette différence est constante, les différences des ordres supérieurs s'évanouissent.

D'un autre côté la formule (b) donne

\\x^ = [^+/iAjr]* — - [^-*-(ii— i)Ax]*

-*- ^^T7^ [a^*.(/i— a)Aa;]* — ±a^ .

Si nous développons et ordonnons le second membre selon les puissances de Aj:, en posant, pour simplifier,

fc^)(^3y-f- =N,,-

il viendra

A* . a*=Noa*»H N, JT— ' AjfH — i^ ^ N,a-->Aj^-f-

Mais on vient de voir que la moins haute puissance de j AXy dans le développement de ^''.àT, est Ax"; donc la i

DIFFISHENGES FINIES. 453

fonction N, est identiquement nulle pour toutes les va* leurs de / inférieures à n.

On a aussi , d'après la formule {h) ,

6!^.x^ = n(n — i) {n — 2) . S.a.i.lo;?" ;

et par conséquent