Soit
jri=zx{x — ^a:){x — 2êkx) [x — (m — i)Ar] :
il viendra
A/=a?(j:— A^)(.r — :2Aa?) ..... [x — (m — 2)Ajt]./wAa? , d'où il est facile de conclure
A*/=^(a; — &ji;)(a: — 2Aj?)
[x — [m — 3)Ar] . iw(/?i— i)ALr' ,
et plus généralement
^*jr=x(a: — ÈLx:) {x — 2Aj?) ....[ar — {m — i — i)A^].m(iw — i) .... {m — « -h I ) Ax* .
Il y a donc une analogie remarquable entre la formule qui donne la différentielle de la puissance x"", et celle qui donne la différence de la factorielle [4 '7] composée de m facteurs, quand les facteurs consécutifs ont pour différence Aj;, et quand le premier facteur est x. Si Ton posait
y=:x{x+tix){x-\''^^) [a:4-(/n— i)Aj;] ,
on trouverait de même
^yz=z{x-\'^){X'\-ii^x) [:c-f-(/n — i)Aa7].i»Aa? , {i)
et par suite
A*j=(x-HAj:)[^-f-(<+i)ALr] .. . .|[a:-|-(»i — i)^'\,m{m^i), . . . .... (m — ^+I)Ar* .
Soit enfin
a:(iH-Aa;) (07+ 2 A^) .... [a:-+-(/w — i)A^j *
il viendra
m{m-\-i) (/w+a) (m+^— 1)> Aj;^
les signes -j- et — correspondant respectivement à i pair et à / impair. •
589. Les fonctions exponentielles et circulaires se prêtent d'une manière fort simple à ropération indiquée par le signe A. On a immédiatement
Aa*=a*(aA*— i), \-a' — i^{a^—ty , . . .
et, par les premières formules de la trigonométrie,
A8in^= 2sin|Aa7. cos(x4-|Aar), I ^n Acos^=— asin^Aar. sîn(^ + 5Aa:) . j On en conclut
A* sîn j: = — 4 sin* | Ax. sin (^-|-Ajr) , A* cos x= — 4 sin* I Ar . cos (jt-H Aar) , et plus généralement , A« sin x= ± a*» sm*»| A^ . sin (a: -4- lAx) , A'»cosjp = ±:a*»sin»*|Ar . cos (x-H'Ar) ,
A^+'sinx=±a**+' sîn*»+'*Ar.cos (x-^ AxJ ,
Ay-^'cosx La»*-*" sin**+'-Ajr.sin( x-f--— î--Ar J •
On doit prendre le signe supérieur>ou le signe inférieur, selon que i est pair ou impair.
590. Les intégrales (aux diflFérences finies) des fonctions en petit nombre sur lesquelles peut s'effectuer l'opération indiquée par le signe 2 , s'obtiennent par le renversement des formules de diflFérentiation établies ci-dessus. Considérons d'abord la fonction x' : la formule (o) donnera , après qu'on y aura remplacé m par
]>IFFÉR£irG£S FINIES.
d'où
+ ^ ^ \ -^ a:*»-» Aar' + etc. ,
+ i — ■ ^ \ î 2.a:»»*-' Ai' + etc.
et enfin
(mH-ijAr ( i.a i.a.3 )
Si Ton fait successivement dans cette formule /w=o, =:i,=2,=:3,etc., on trouve:
Ar
a Ajr 2 '
— or' H iC* Ajc ,
la^z
etc.
4 Ax
5 Aâ; I ^ I 5 1 •
^=rë— â^+r'^-ô^^''
'6 Ax a
Chaque intégrale doit d'ailleurs élre complétée par une constante ou par une fonction périodique arbitraire, ainsi qu'on l'a expliqué [584]. On obtient par ces formules l'intégrale aux différences de toute fonction algébrique, rationnelle et entière.
On ne verrait pas facilement sur ce tableau la loi
que suivent les termes successifs du développement de £r*: nous reviendrons sur ce point, par des considérations plus générales, dans le chapitre suivant. On tire des formules (î), (j), (k), (J)
2 \x {x + ^x){x + :iàx) . . . . [x + {m — i)bLx]
'=^{m^i)tix i (^-^M^+^)- • • • [a:+{m-^i)Sx] | +Trf, [n)
x{x+^){x+%l^). . . .[x'\'{m — i)Ax]
{m — lykx.x{x+^x){x+^^x)....[x'^{m — 2)Aj?]'^^ ^^'
« . <:îos(x — \^œ) \
A sm j: = — ^ ^-; — r-4 ^ -h X5 • i
2 sin ^ A^ f / >
* V in
2cos:r= ^ . , ^ ^ H- trf, I
2 sin ^ Aâ: ;
t;;^ désignant la constante ou la fonction périodique arbitraire.
591. Les formules du précédent n^ s'appliquent naturellement à la sommation des séries. Suivant la notation indiquée [585], désignons par S^^ la somme des termes de la série dont le terme général est /., cette somme comprenant les termes extrêmes ^,„ ,^,, de manière qu'on ait
SL^' =2ly< + 7* , ou S\ji = ^u^ /*; les formules (m) donneront d'abord
S{ . ar' = I -*- 2' -4- 3' + 4- 1»= L^ + i j» 4- JL / ,
S\.x^=i +2^+3'+ ^p—li^+lp + JL.i-,
etc.
diffMrenges finies. 457
On sait que les séries des nombres figurés commencent par l'unité , comme les précédentes , et ont pour termes généraux
on peut donc appliquer la formule {ri) à la sommation de ces séries , et il vient
etc. ;
en sorte que la somme de l'une quelconque de ces séries est le terme général de la série de l'ordre immédiatement supérieur : relation bien connue, et qui peut être prise pour la définition des nombres figurés.
Les séries réciproques qui ont pour termes généraux
se somment au moyen de la formule {p\ à l'exception de la première , pour laquelle la formule fait dé&ut , à cause d'un facteur qui s'évanouit au dénominateur. On trouve pour les autres
'^i{i-{ri){i+%) 2 (/+iX«+a) '
etc.
Si Ton fait ^=:oo , on a 7, 7, etc,, pour les sommes des séries prolongées à l'infini.
458 LIVRE YXII. GHAPITBE I.
De la formule {q) Ton tire
c'est-à-dire, la règle élémentaire pour la sommation des progressions géométrique^.
Faisons dans les formules (r) x=p^q , aj;=9 : elles donneront
.8.n {p+uf)^ asinly ' '
• ^^ ^' 21 sm^;
et par suite [4o6 et 4^3]
*^*^*^*^'**^****«^«*'**o»^ ^**%<%'%<*'»»^«^«10'»W«*%%i»>«»»«m<%»/»«l/«ÎO«fc<<«»%%«»V> %%%%»% ^MW
* CHAPITRE IL
FORMULE d'eULER, POUR l'iÉVALUATIOW DES SOMMES PAR LES IJJTTEGRALES ORDINAIRES ET DES INTÉGRALES PAR LES SOMMES. — i APPLICATION A LA FORMULE DE STIR- LING. DE l'interpolation.
§ i^*". Formule d'Ealer pour l'éTaluation des sommes par les intégrales ordinaires et des intégrales par les sommes.
