V-4-I vH-i
ysin»*-'^: cos»+*:F«Zr=ysinJ*"»:rcos*a:dlr — fsm^x coi*xda; ,
d oîi l'on tire
r- ^ . j sint*-'j:cos*+'^ . a-i /*. ^ ^ , j' / \
Si l'exposant v est positif, on diminue cet exposant
sans augmenter pi, en employant la formule suivante, à
laquelle on est conduit par un calcul analogue :
/•• « , sini^'orcos^a: v — i /*. ^ , , j / \ fsun^x cos^xaa:z=: 1 — ■ — lsm»*^cos*"*^aa:. (v)
On tire de l'équation (jjtj
^. , sin^^'^iTcos^+'x F^+v A ,
/sm>*-*cos*xcw7= h ' Ism^x cos^jreu;,
et en changeant ]l en — (^H^^^
J smJ^x {\L — i)sm»*-'j7 (JL — I ^sio'*"*:r ^^ ^
On tirerait de même de l'équation (v)
/sinisa; , sinï'+'x v — \k — 2 /'sini'j: , . ,. dxzzz'. r H K / dx. (v') cos*:f (v — ijcos'^^x V- — I Jcos*^*x ^
Ces deux dernières formules servent à réduire les valeurs numériques des exposants [x, v dans l'intégrale ([x,v), quand ces exposants sont négatifs.
A l'aide des quatre formules de réduction (jx), (v),
28 LIVRE V. GHAPITR9£ IF.
((x'), (v') , on fait toujours dépendre l'intégrale ((x,v) d'intégrales de même forme y dans lesquelles les exposants [i(.,v tombent entre — i et -<|- i ; et lorsque les exposants primitif fL, V sont entiers , l'intégrale ((ic^^v) est amenée à dépendre de l'une des sieuf intégrales suivantes : fdxz=.x-\'Ckyfi\iixdx-=i — cos.r+C,ycos^//a:=sina:+C,
ysin^cosa7ctF=-sin*4:+C, / dx-=: — logcoso^+C,
2 if f/Ooi27
"^310. Au lieu de ramener l'intégrale d'une fonction transcendante à dépendre de l'intégrale d'une fonction algébrique, on peut faire l'inverse et obtenir ainsi, pour certaines transcendantes à différentielles algébriques, des expressions d'une forme plus simple ou d'une discussion plus facile. C'est ce qui se pratique notamment pour les intégrales (A), (B), (C) du vl^ 3o5. Soit en effet /?* le plus grand des coefficients /?% q^ qui entrent dans la composition du radical
on posera
/w: = tang<p, ^i=c,
et les trois intégrales précitées se trouveront comprises sous la formule générale
//A + Bsin^9\ ^
^ VC + Dsin^çy ^/^i--c*»in*<p ^ ^
Si au contt*aire le radical a la forme
R=V/Ci-/;»i:>)(i-y'a;*),
il deviendra imaginaire pour les valeurs de .r' comprises
mTÉGRATIOSr D£S FONCTIONS TRANSCENDANTES. ^
entre -- et -^ ; en sorte que les troià intégrales dans la
composition desquelles entre ce radical, seront elles- Diêmes affectées d'imaginarité , à moins qu'on n'ait p^jf < I pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites de l'intégration. On sera donc autorisé à
poser
au moyen de quoi l'cxpressioA (f) sera, encore la: forme générale des intégrales (A), (B), (C), c* désignant toujours un paramètre compris entre a et i . Mais cette formule (i) équivaut à
A' / «? -t-B / V/i— c*8În«(p.rf5>
^n' f df
k'yB'^C J a éta&t de scniTeaux coefficients, que l'on ik^ duiraie sans peine de. A^B^C,D par la rédtiction au mâme dénominateur^ et la comparaison def termes quâ affectent les mêmes puislsances àt sin. ^. En conséqueoœ, le calcul des trois intégrales (A)»(B)^C) est rame^aé à celiii des trois intégrale» suivantes^ que Ton regarde arec raison comme plus simples ,
V;^x— c>sîa»(p . rfç , (II)
^y. (III)
(i + « sin* <p) V/'i — c» sin* <p
*31 1. Parmi les intégrales qui rentrent dans les formes (I)j(II), nous citerons les suivantes, qui se présentent dans diverses applications importantes,
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30 LIVRÉ V. CHAPITIIE II.
J l/'l — ac.co84»-f-c* J X^IT-
Si l'on change de variable en posant Téquation
sîn(ç+4>) = csin9, on aura
,, [g. CDS (p-MPOS (9+^/)]rf9 (C. COS9 y/i --.g» sin' y)rf<p
cos4'=sinçsîn(9+^)+cosçcos(ç4-^j;)
= £?sin*9 + COS 9 l/i— c»8m*<p,
et par suite
y W^i — ac.co8<H-c» y Kl — c' «in» 9 "^ ^ ^
= - / ^ =• / l/i — c» sin »9.rf9 -l-sin 9.
312. Soient f, 9 deux fonctions de x, la première algébrique^ la seconde transcendante, mais ayant une dérivée algébrique 9' , et posons
l'intégration par parties donnera
/f^ . dx t= f,9» — «/ïx9' . 9^^'. dx , yf j9' . 9"- '. ^/a: = f»9"- ' — (/i — I )/f.9' . 9*"*. dx^ etc. ,• d'où
yf9''.«tr=f,9» — /if49""'4-n(/i — i)f39"""* — . . .
Fexposant n étant un nombre positif entier. En conséquence, dans cette hypothèse, et lorsque toutes les intégrales fi , f,, . . . f„^, peuvent s'exprimer en termes finis, rintégrale
/f9«.rfr (f,9)
s'exprime aussi en termes finis.
