INTÉGRATION D£$ FONCTIONS TRANSCENDANTES
Admettons maintenant que n soit un nombre entier négatif; ou , ce qui revient au même , considérons Tintégrale
en traitant 72 comme un nombre entier positif , et posons, pour simplifier y
f = '^^' Y^ ^' y = trf3,etc.:
nous aurons
et par suite
/— . dv= — \y { : H- 7 r-r-^ r h CtC. 1
«Jlr.
En conséquence, l'intégrale f f, -) est ramenée à dépendre de la transcendante
— -.iir, Si l'exposant n n'était pas entier, le calcul qui vient
d'être indiqué développerait les intégrales (f^rp), (f,~ j
en séries d'un nombre infini de termes. 313. Prenons pour exemple
les formules précédentes nous donneront
/r--' (log^r)" ^ = ^ [(log ^y — \ (log •^)""'
+ A__J(log^)— — . . .±-^ ^^;^ J -\-const.
/x^^dx r I a
(n— i)(/i— 2)..3.2.ilog:rJ (/i— i)(/t— 2)..3.a.iy log x En posant af:=.y^ on ramène Tîntëgrale
^ logo: 7 log^
En vertu de la relation z=:log^, on a aussi
En conséquence, les deux formules obtenues ci-dessus donneront, sans nouveau calcul, par la permutation des lettres 2 et x ,
/- ff\ n n(n — i)
, /if/i — i)...3.2.il ,.»
/g"<fo f I g
a»2! ^1 ^îZl fef^dx
(n — i)(/i — 2)...3.2^J (n — i)(n — 2)...3.2.iy ar
Puisque les intégrales
faf"^ (log o:)"^ , fafe^'dx ,
peuvent toujours s'obtenir sous forme finie, quand n est un nombre entier positif, il est clair qu'on peut assigner aussi en termes finis les intégrales ffx.(\o^xYdx^ ffx.ef^dx^
y désignant une fonction algébrique, rationnelle et entière.
314. Changeons a en a |/^^ dans la formule (a); remplaçons Texponentielle imaginaire par sa valeur en sinus et cosinus, et identifions séparément les parties
IKTÉGllATIOir DBS FONCTIOlfS TRANSCENDANTES. 33
réelles et imaginaires des deux membres , nous aurons :
■co,a:r.dr='iligfr^-g(l^);r-'+"("-')("T")("-^);r-«-J a L « ^ J
cosâorr/» «{/i— i)fn— a) , 1
H L-a--«--!i >:j^ ^j*-3+... \ + comU
a \a cr J
•sinûx.d!r = Le" — L-ij:«-»+-V ^^ ^ ^^ ^j:"-*-...
sxnaxTn ^^ '«(«-i)('«-2) , , 1 .
-j:^' î' S^^ ^0:"-^+. . . \ + const.
a [a ar J
On trouverait aussi toutes ces formules directement, en appliquant aux intégrales des premiers membres la règle de Tintégration par parties.
On ramènerait de même les intégrales
/co%ax,dx rfÀTktucdx
à dépendre des intégrales plus simples
\dx
L'iatégration par parties donne encore
e" sm bx.ax:=i / e" co^bx.dx.
a aj
^nations d'où l'on tire par l'élimination
+ const. j
. . , a Vin bx'-^b cos bx t^ sm bx.ax^=> ; 71 . ef^ + const.
, . a cos bx-^b sin bx
^CQsbx.dxzzz K 71 .^ +const.
D'ailleurs on tirerait de la formule (a) les valeurs des intégrales
yV«" cos bx.dxj faf'ef^ sin bx.dx^ en y remplaçant a par a-^byZ-Zl^ mettant pour l'exponentielle imaginaire ^^V^ sa valeur en sinus et co-
34 LIVUE V. — G^APITRK II,
slniMy ^ét identifîaiU sép0i:ément hs parties réélit^ et imagin^irjcs des deux membres.
Donc on pourra assigner en termes finis les intégrales jyx • e^ cos bx . dxj fjx . c"' sin bx.dx^ y' désignant toujours une fonction algébrique , ration* nelle et entière.
