ÉQUAXIOJSS ▲UX DIFFERENCES FINIES

608. Considérons 1 équation linéaire aux difFérences, d'un ordre quelconque, qui a pour, forme générale A«74-P.A»-:*7 + Q.A»-»j4- i-+. U/rsY ,

P, Q,. . .U, V désignant des fonctions de- ar, ou (ce qui revient au même, attendu que les différences des divers ordres s'expriment en fonctions linéaires des valeurs successives de la variable dépendante)

Jar-H» + P/a:+«-i + Q/or+n-a + 4- U/, =r V . (a)

On prouve, comme pour les équations difTérentielles analogues, que l'intégration de (a) se ramène à celle de l'équation

Si l'on désigne parj-,^'^,^,^*^, etc., des valeurs de^, propres à vérifier Téquation (è), celle-ci a pour propriété caractéristique, comme l'équation différentielle correspondante, d'être encore vérifiée par la valeur ^,=2. ^ij's^j les coefficients Q désignant des constantes arbitraires. Par conséquent, si l'on connaît n solutions ou intégrales particulières de l'équation (é), on en aura l'intégrale générale avec les n constantes exigées. L'ordre de l'équation à intégrer s'abaisse d'une unité, si l'on connaît une intégrale particulière, et ainsi de suite [462].

Les n intégrales particulières s'obtiennent très-aisément quand les coefficients P, Q,. . «U sont des constantes; car, si l'on pose^,=//i% d'oîi^,^,==/w*+', on a , pour déterminer m , l'équation algébrique

w«" + Pm"-" -I- Q/w«-* 4- + U = o ; (m)

et si l'on en désigne les racines par /w„ /w,,. . .w„, l'intégrale générale de l'équation (b) prend la forme 7^=C./w/ + C.W/ + , + C„w/ .

486 LlVilE vin. — CHAI^ITRR III.

609. Nous appliquetï>ns ce qui précède à un problème assez cuHeux d'analyse combinatoire que Ton peut énoncer comme il suit, en convenant, pour plus de brièveté, d'appeler le nombre m X exposant d'une combinaison m h m:

« Sur le nombre total des combinaisons que l'on peut faire avec un nombre d'objets désigné parx, en les prenant I à 1, a à a, 3 à 3,. . .j; à X, déterminer séparément le nombre de celles dont les exposants, divisés par un certain module n, donnent pour reste l'un des nombres G, I, a, 3,. , .n — I. »

Désignons par^"\^*),^*^,. . . ^"^ les nombres à déterminer, qui sont autant de fonctions discontinues du nombre x. Si x augmente de l'unité , il est clair que le nouvel objet à combiner, introduit dans les combinaisons de la classe r (ou dans celles dont Texposaût , divisé par /i, donne pour résidu r); les fait passer à la classe r-^-iy et que de plus cet objet, pris seul, donne une nouvelle combinaison à exposant t. En conséquence on a

et par suite

Ay«)=:Ay»-'>, Ayo = a/<») , Ay»>= a/'^ .... A*/»'->=Ay»— ^ (c,)

£n continuant de prendre les dtflTérences successives, jusqu'à ce qu'oh soit arrivé à celles de l'ordre n, on trouve finalement

Ay «)=rA'^y»- 1 ), Ay >=A*-y»), ....Ay»— ^5=A'^y '^»).(c.)

L'élimination entre les équations (c,),(c,). . .{c^ donne Ay-)=^*) + i; (i4)

Ay)=y"\ Ay''=y»>, ...... Ay?-')=7('--'> . (rf)