ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES FINIES

Chacune des équations (d) est de la forme à"7-,Œ^,, cl -où Ton tire, en exprimant les différences en fonction des valeurs successives {58a]^ n n(a — i)

Quand n est pair, le terme en^« disparaissant, l'ordre de réquation s'abaisse d'une unité, et il vient

Pour le eas de n impair on a n n(n — i)

L'équation (m) devient dans le premier cas

et dans le second

(m — I )» — is=o;

d'où [79]

1»= I «4- cos — - dt K— I . sin— n n

lie / nr . . . /ic\

=2Cos— ( cos— 4- K — 1 . sm — ) >

et en transformant convenablement les exponentielles imaginaires,

rx=c.2* \

+M,( 2 cos- ) cos- — l-M,l 2 cos — ) cos hetcf . .

-hN,( 2C0S- ) sm l-N, ( 2COS — ) sm h etc. 1

\ nJ n \ nJ n J

Maintenant, si l'on prend successivement pour /« chacune des fonctions ^'^,^*\^'"""\ on déduira de la formule (e) les valeurs de toutes ces fonctions de x, qui ne différeront que par la détermination des constantes

488 UVKE VIlî* CHAPITRE III.

arbitraires G, M,, N, , M, , N», etc. Quant à l'équation {d^ , il est clair que la formule {é) en donnera aussi Tintégrale, pourvu qu'on ajoute au second membre le terme constant — i . D'ailleurs , par une conséquence très-connue de la formule du binôme de Newton ,

j(o)^^0 4.jK»)-f. -f. j(»— >)-=:2* — I .

En prenant, par exemple, /2=:4i et en déterminant convenablement les constantes arbitraires, on trouve

j(o)==i ,2* + - r^â ) cos^wa? — i ,

/") = ^.2^ — ^f^l/i j COS^IC^F, I I / -\* I

j<^)= - . a* ( l^a j sin- tçx .

610. Ou parvient quelquefois à exprimer les intégrales des équations aux différences, au moyen d'intégrales définies ordinaires. Pour faire connaître l'esprit de la méthode, prenons l'équation

dans laquelle nous supposerons que m est une constante positive. Posons

a désignant une fonction de lo dans laquelle x n^entre pas : il s'agit de déterminer cette fonction et les limites de l'intégrale, de manière à satisfaire à l'équation proposée.

Cette équation donne

{m-^x) fa o>a?+'rfù)-f.(/n + 2ar)/ûw*rfft) = o , ou

EQUATIONS AUX DIFFÉBENCES FINIES. 489

Mais on a, en intégrant par parties,

Donc, si l'on prend pour les limitesde l'intégrale deux raciales de l'équation

l'équation (f) deviendra

/j m(i+a>)ûA)— é/[û(aa> + <o")]}w*=o,

et l'on y satisfera indépendamment de x , en déterminant la fonction 0 par l'équation différentielle

m{i + ta)iïdfa — rf[Û(auiH-w*)] =o , qui donne

û = C(aco-i.ci)')" ', C désignant une constante arbitraire. Après qu'on a substitué cette valeur de 0 dans l'équation (a>), elle devient

et comme on a supposé le nombre m positif, on y satisfait en prenant pour les limites de l'intégrale

10 = 0, (0= — a , d'oîi

/^» îi— I

L'expression deviendra plus élégante, si l'on fait

(o = cosa — .1 , aii)-i-cû* = — sin*a, A)= — sin arfa , ce qui donne

X^=. C ( — I f y ( I— cos a)* (sin a)»»-' rfa.

On a d'ailleurs, pour déterminer la constante arbitraire C, au moyen de la valeur initiàle^o» l'équation

7o = C / (sina)"*"'rfa.

611. Pour donner un exemple d'intégration, dans le cas où l'on ne suppose pas constante la diflerence de l'une des variables , concevons qu'il s'agisse de détemtiner en fonction de a? la quantité x* qui satisfait à l'équation

r^x=rx"—^, ^' ■ ie)

ou le terme général de la série des valeurs de/ que l'on construirait avec cette équation : les valeurs initiales de X, y étant x^^ j^. Soit i l'indice de deux termes qui se correspondent dans la série des valeurs de x et dans celle des valeurs de/: on aura

L'équation {g^ est linéaire et a pour intégrale

X(=zx^.iK

Si l'on met la valeur initiale /^ sous

la forme

l'équation (^,) donnera

7, = ^*+^, ra==«^-i-^,

'Ti-

et par suite'

On doit remarquer que la dernière équation, qui est l'intégrale complète de {g\ renferme les deux constantes arbitraires et indépendantes oTo, c, ou ^01/0; parce qu'en effet l'équation (g) ne peut être construite <{u'après qu'on l'a transformée dans le système des équations (^,) et (^,), et qu'on s'est donné arbitrairement x^j /;.

*:quations aux différences finies. 491

§ %. De la construction arithmétique des équations aux différences finies , à deux variables. — Conséquences relatives à la multiplicité des intégrales générales, à l'existence des intégrâtes singttlièrea et au passagédu fini àrinfiniment petit.