Revenoas à la constraction arithmétique de

réquation

et supposons que de cette équation Ton puisse tirer deux valeurs de Aj^ en fonction de x^jr. Après qu'on se sera donné arbitrairement la valeur initiale^oy correspondant à une valeur déterminée de «t:, telle que j;=r:o, on aura, suivant qu'on choisira pour A^ l'une ou l'autre des deux valeurs fournies par l'équation (F), deux valeurs différentes de /,, à chacune desquelles, par la même raison^ correspondront deux valeurs différentes de^„ de sorte qu'il y aura quatre systèmes distincts de valeurs pour la série partielle (/o>^i»/a)« On obtiendrait huit systèmes distincts pour la série partielle {/'o^TuJ^ijJ'i^ qui comprend un terme de plus, et ainsi de suite. En général, si l'équation (F) donne m valeurs pour Ay, la série partielle (/ofjijj'zv'j'n) pourra être construite d'après cette équation, d'autant de manières différentes qu'il y a d'unités dans m", l/équation aux différences prise pour exemple, est du premier ordre, mais les mêmes remarques sont applicables aux équations aux différences d'un ordre Quelconque.

Si, parmi les diverses séries, ainsi dérivées arithmé^ tiquement de l'équation (F), il s'en trouve plusi^irs dont le terme générai puisse être exprimé par une fonction algébrique ou transcendante de l'indice et de la valeur initiale ^o> ou d'une constante arbitraire qui en lient

lieu, l'équation proposée aura plusieurs intégrales distinctes, et néanmoins complètes, puisqu'elles contiendront une constante arbitraire.

Tel est en effet le résultat auquel on arrive indirectement, quand, au lieu de remonter de l'équation aux différences à l'intégrale complétée par une constante arbitraire, on part d'une équation entre x^jr et une constante, pour arriver à une équation aux diiTérences d'où cette constante se trouve éliminée.

Prenons comme exemple l'équation très-simple

/zzrax-f-a", (i)

qui donne par la différentiation , pour Aj;=i,

Ar=«, (a)

et par l'élimination de la constante a,

' Aj*4-arAj — 7 = 0, (3)

d'où il suit que l'équation (i) est l'intégrale complète de l'équation (3).

Considérons maintenant dans l'équation (i) le paramètre a comme une fonction variable à&x^ et afin que les équations ('^) et (3) n'en subsistent pas moins, égalons séparément à zéro la portion de la variation du second membre de l'équation (i), qui provient de la variation de ai nous aurons

Aa(Aa-i-2a4-ar 4- i) = o ; et cette équation se décompose en deux autres

Aa=o , Aa-f- aa+ ^+. I =* o . (4)

La première donne azuzconst.^ ce. qui fait retomber sur l'équation (1). On pourrait appliquer à la. seconde la formule générale du n® 607 pour l'intégration des équations linéaires du premier ordre; mais si l'on pose directement œzzzu-^mx^n^ u désignant une nouvelle fonction de x, et m^n des constantes = indéterminées, il

ÉQUATIONS AUX OIFFEREIfCES FINIKS. 493

viendra

Am + au + ( am +1 ) ^ + an + w* + 1 ===o y

ou simplement, en prenant m= — 7, /i="— -J, .

Aii.-|-att=: o . (5)

L'équation (5) qui peut se mettre sous la forme '^ar+i-h":r=o, a pour intégrale complète

«*==*(— i)*, d'où az=b(—i)^ — ^ — ^^ b désignant une constante arbitraire.

Cette valeur de a doit être substituée dans l'équation (i). Pour faciliter la substitution^ on met celle-ci sous la

forme

ce qui donne

On obtient ainsi une équation en x^y^ jouissant de la propriété de satisfaire à Téquation (3), et qui en .est, aussi bien que Téquation (i), une intégrale complète, puisqu'elle renferme la constante arbitraire b,

613. Le géomètre Charles^ qui a signalé le premier la multiplicité des intégrales que comportent les équa? tions aux différences, distingue ces intégrales en directes et en indirectes. Suivant son langage, l'équation (3) au* rait pour intégrale directe l'équation (i)etpour intégrale indirecte l'équation (6); mais ces expressions doivent être bannies comme propres à donner des idées inexfictes. S'il est vrai qu'en opérant comme on l'a fait ci-dessqs, c'est-à-dire en se donnant directement Tintégrale (i), pour en conclure l'équation aux différences (3) et ensuite la seconde intégrale (6), celle-ci n'a été, obtenue que d'une manière indirecte^ il est vrai aussi que, quaqd ou

494 LIVRE vin. — CHAPITRE III.

se donne d'abord Téquation aux différeuces, les deux intégrales qui y satisfont, qui sont toutes deux complétées par une constante arbitraire, sont aussi directes Tune que l'autre, bien que Tune d'elles puisse avoir accidentellement une forme algébrique plus simple.

Rien ne s'oppose en efFet à ce qu'on traite l'équation (6) comme on a traité l'équation (i), en y considérant le paramètre b comme une fonction de .r, et eu égalant séparément à zéro la somme des termes provenus de la variation de ce paramèti*e. L'équation en b est , toutes simplifications faites,

A6-f-2*+i( — i)^=o, et si Ton y applique la formule du n** 607, il vient

b=\x{—iY-^-c{—iY,

c désignant une constante arbitraire. Cette valeur de b^ substituée dans l'équation (6), donne

et enfin si Ton change de constante, en posant c— ^=a, on retombe sur l'équation (1), qui par conséquent: dérive de l'intégrale (6), de la même manière que l'équation (6) dérive de l'intégrale (1).

On peut encore, par un autre procédé, obtenir simultanément les intégrales (1) et (6). Car si l'on difierentie l'équation (3), il vient

Ay(Ay4-aAjrH-^+-i)«^o , équation du second ordre, qui se décompose en deux autres

Ay=o , A'jr-i- aAjr + i«r-f. 1=0.

La première donne ^jr=aj et cette valeur de A^, substituée dans l'équation (3), reproduit l'intégrale {\\ En intégrant une première fois la seconde équation ^

EQUA^TIONS AUX DIFFI^RENCES FINIES. 495

comme on a intégré la seconde équation (4), on obtient

et cette autre valeur de A/^ substituée à son tour dans Téquation (3), reproduit rintégrale (6).

Le lecteur remarquera l'analogie de ces calculs avec ceux qui donnent les intégrales singulières des équations différentielles dont on a l'intégrale générale; mais il s'en faut bien que cette analogie soit complète, puisqu'icî les deux intégrales obtenues ont chacune une constante arbitraire, et que, si Ton voulait maintenir sous un certain point de vue l'assimilation avec le» intégrales singulières, la réciprocité des rapports existant entre les deux intégrales de l'équation aux différences, obligerait de regarder successivement chacune de ces intégrales comme i^emplissant, par rapport à l'autre, la fonction d'intégrale singulière.

614. M. Poisson a présenté sous un autre aspect, qu'il est intéressant de connaître, ce mode de dérivation réciproque.

Concevons l'équation (i) résolue par rapport à la constante a et mise sous la forme

(a — tt)(a — v)=o, y (7)

u^ V désignant généralement des fonctions dèpr,^. Soient M„ ^, ce que deviennent u, i^, quand on yfcliange x^j en a: -H A x^y 4- À^*, on aura encore /

et l'élimination de a entre les équations (7) et (8) re* viendra à réliniinatlon de cette même constante entre l'équation primitive (1) et son équation aux différences

(a). Le résultat de cette élimination sera évidemment réquation aux différences

laquelle doit par conséquent être identique avec Téquation (3). Or, l'équation finale, mise sous cette forme, se décompose en quatre autres

. if,-^u=?o, f, — ^=0 , tf. — (^.= 0, p.-ru^zzo , Les deux premières conduisent immédiatement aux intégrales u — :<y, i^=aj qui se confondent Tune et l'autre, après l'évanouissement des radicaux , avec . réqqatjoA primitive (j). Les deux autres équations conduisent précisément à riutégrale que Charles qualifie d'indirecte, par opposition à l'intégrale primitive de laquelle on est parti.

Dans l'exeipple qui nous occupe, on a

ce qui donne

i'i— «=K— I — V/(^-i-i)'-h4(r+ArhH/^M^)=o.

Afin d'opérer plus commodément l'intégration , changeons de variable , en posant l/j?» -f- ^y=z t ces équations deviendront

— 1+J2, -4-;8=0, i-f-z, 4-ja=:o, ou bien

AzH-2«— 1 = 0, A;3-|-22 + i=o; et l'intégration donnera

b\ V désignant dès constantes arbitraires. De là on tire