ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES FINIES

équations identiques. avec l'intëgraJe (6), pourvu qu'oA pose, ce qui est permis, 4'= — 2 A, ^"=2^.

Si Ton conserve la variable auxiliaire z, Téquatioû (9), qui est une transformation de f équation (3), prend la forme

(— i"+«,-^X""^'*"*x"^^)("'^^^«"*^)( — I— ^,+J5)s£:o; (ko) et il est clair qu'on y satisfait, ou par une valeur de z en fonction de x qui rend nul un des facteurs pour toutes les valeurs numériques de x^ ou par une valeur de z qui annule successivement, tantôt l'un des facteurs^ tantôt l'autre. C'est ce dernier cas qui a lieu si l'on prend pour z l'intégrale de l'équation

— I +(— i)X;s.— jK=o , (11)

X désignant une fonction quelconque de x, qui soit un nombre entier pour toutes les valeurs entières de x; car, selon que X a pour valeur un nombre pair ou impair, la fonction ( — i)^ prend les valeurs +1 ou — i, et le premier membre de l'équation (11) coïncide avec le premier ou avec le troisième facteur de l'équation (10). Pour intégrer l'équation (i i), il suffit d'en multiplier le premier membre par

car elle prend alors la forme

( I )sx + A[( — i^sx 2,] = o , d'où l'on tire

On simplifie ce résultat, en remarquant que l'intégrale 2X doit être, comme la fonction X, assujettie à la condition de prendre des valeurs entières pour toutes les valeurs entières de x. Le carré de la fonction

est donc constamment égal à i ; et par conséquent, si l'on T. II. 3a

élève au carré les deux membres de l'équation précédente, en remplaçant la fonction arbitraire 2X par X, on aura

j5' = ar* + 4r=[co/i*^-4-2(— i)^r . (12)

Suivant qu'on prendra X=i, ouX=x, on retrouvera par cette formule l'int^rale (i) ou l'intégrale (6); mais on pourra en déduire une infinité d'autres intégrales, en assignant d'autres formes à la fonction X.

Si Ton représente par X^ une fonction de x^ qui soit, ainsi que X, un nombre entier pour toutes les valeurs entières de x^ l'intégrale de Téquation

— I + (— I )Xz. — ( — I y^'z = o

devra encore satisfaire à l'équation (10); mais en effectuant cette intégration, on trouve que les deux fonc* tions arbitraires X et X' se confondent en une seule dans l'intégrale, fet l'on retombe sur la formule (la).

Ces remarques sur la multiplicité indéfinie des intégrales que comportent certaines équations aux différences, sont encore dues à M. Poisson, et font l'objet du mémoire par lequel ce géomètre éminent a débuté dans une carrière parcourue depuis d'une manière si glorieuse et si profitable aux sciences. On voit d'ailleurs que cette multiplicité indéfinie doit résulter de ce que l'on peut construire arithmétiquement [612] une infi* nité de séries distinctes , ayant toutes un premier terme commun, et satisfaisant toutes à la même équation aux différences, lorsque celle-ci, résolue par rapport à la différence de l'ordre le plus élevé, comporte plusieurs racines. Mais il s'agissait de montrer que, parmi toutes ces séries, il y en a un nombre infini dont on peut exprimer analytiquement le terme général, et c'est ce que la discussion qui précède met hors de doute.

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615. Il est bon de remarquer que le passage d'un facteur à l'autre peut avoir lieu, non-seulement pour les intégrales qu'on obtient dans l'analyse précédente par l'introduction du facteur ( — r)^, mais encore pour les intégrales qualifiées par Charles de directe et d'indi* recle. Supposons , par exemple, que l'on ait pour x=oi y"=i I et par suite 2=2 ; les quatre facteurs du premier membre de l'équation (lo), séparément égalés à zéro et intégrés d'après cette condition initiale, donneront : jz=r:a: + 2 , d'où j = ar -4-1 ,

La première équation donne à z une valeur néga* tive quand x prend des valeurs négatives, numérique^ ment plus grandes que 2 ; au contraire la quatrième équation donne à z' des valeurs négatives pour toutes les valeurs positives de x, plus grandes que a ; la valeur de z, tirée de la seconde ou de la troisième, est positive qu négative, suivant qu'on prend pour x un nombre pair ou impair. £n conséquence, l'équation ^"^=^-1-1 satis&it à l'équation auK différences

Ar=|( — or + l/'^ÏM^), (i3)

pour toutes les valeurs de .r > — 2, et au contraire à l'équation

Ar=:i(— a;— 1^'+4^) , (i4)

pour toutes les valeurs de x< — 2. Quant aux équations

SOO LIVRE VIII, CHAPITRE Ht.

elles satisfont alternativement à l'équation (i3), et à lequatioa(i4).

€16. Les diverses intégrales que peut comporter une équation aux difTérences finies^ ont entre elles des liaisons analogues à celles qui existent entre les intégrales singulières et les intégrales générales des. équations difTérentielles ; mais cette analogie, comme on Ta déjà dit , n'est que partielle et incomplète. Si l'on considère comme la propriété caractéristique des intégrales singulières, de ne pouvoir être complétées par une constante arbitraire, l'analogie s'évanouira; mais, d'autre part , on peut , ainsi que M. Poisson l'a encore fait voir , assigner à certaines équations aux différences des intégrales singulières , qui ne rentrent point . dans les intégrales déterminées par les méthodes précédentes, et qui sont analogues aux intégrales. singulik*es . des équations différentielles , précisément d'après ce caract^e de ne pouvoir être complétées par. une constante arbitraire.

En. effet , le calcul du n^ 477 s'applique aux équations aux différences comme aux équations différentielles, et l'on en conclut également que toute valeur, de. / en fonction de x, qui jouit de la propriété de. satisfaire à une équation proposée, aux différences finies, en même

temps qu'elle rend infini le coefficient différentiel -^^

ne peut être qu'une intégrale singulière de la proposée, dans le sens qui vient d'être expliqué. Soit proposée l'équation

X^i^r-^{64)'^jr' = o, (i5)

qui a pour intégrale complète