ÉQUATIONS ALX DIFFÉRENCES FINIES

a désignant la constante arbitraire : bii en tire

d/iy 3 I

rfr— 4 (64)'Ar--i'

valeur qui devient infinie, si l'on pose (64)*A/— i=o.

Quand on élimine ^j- entre cette équation et la proposée y il vient

On satisfait à cette dernière équation en prenant

mais le premier couple ne satisfait pas à la proposée, tandis que les deux dernières valeurs de^, qui y satisfont, donnent deux intégrales singulières de l'équation (i5).

L'équation (]6) qui détermine lès valeurs de la constante arbitraire a pour tout système de valeurs initiales attribuées à x et à^, comporte, en général, trois racines inégales ; mais elle acquiert, deux valeurs égaies lorsque les valeurs attribuées à j: et à ^vérifient l'intégrale singulière.

La valeur^^'^^zo satisfait à la proposée, mais n'en est pas une intégrale singulière , puisqu'on l'obtient en faisant a=o dans Féquation (i6)-

617. Une équation dans laquelle un paramètre constant n'entre qu'au premier degré, mais où la variable^ est élevée ait carré ou à des puissances * supérieures , conduit, par l'élimination de ce pai*amètre^ à une équation aux différences d'un degré élevé par rapport

&02 LIVRE Vlïf. CHAPITBE IIÏ.

à ^y. Prcfnons pour exemple Féquatioa

«y — ar=5=o: (17)

on en tire, par l'ëlimination de a, l'équation aux dif-* férences

Ar' + ajA/— ^ = 0, (i8)

qui devient ^ étant résolue^

Il est clair que la construction arithmétique de cette équation aux différences donne une infinité de séries distinctes pour un même système de valeurs initiales; et pourtant on ne peut pas, en faisant varier la constante a dans Téquation (17), en 'déduire indirectement d'autres intégrales de Féquation (18). Mais si l'on résout cette même équation (17) par rapport à jr^ on pourra remarquer qu'elle comprend , non-seulement les valeurs

(qui sont les seules qu'on en puisse déduire, lorsqu'on s'astreint à traiter^ comme une fonction, continue de x)^ mais encore une infinité d'autres valeurs comprises dans la formule générale

X étant une fonction de x^ assujettie seulement à donner des nombres entiers pour toutes les valeurs entières de X. La multiplicité indéfinie des fonctions comprises dans cette formule, correspond à la multiplicité indéfinie des séries que l'on peut construire arithmétiquement , au moyen de l'équation aux différences.

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FmiKS. ÔQ3

618. Nous avons supposé jusqu'ici, pour plus de simplicité , Ax == i : admettons toujours que cette différence soit constante, mais laissons-en la valeur numérique indéterminée. L'équation

jr=ax + a* , (i)

que nous avons prise pour exemple, conduira , par Télimination de la constante a, à l'équation aux différences

La seconde ^équation (4) sera remplacée par

Aa + 2« •4« x -I- Aa:=o , et celle-ci aura pour intégrale

d'oïl résulte cette autre intégrale complète de l'équation (i),

Si maintenant on suppose que Ax^ et par suite Aj deviennent des quantités infiniment petites, l'équation (19) se changera dans l'équation différentielle

et l'intégrale (i), dans laquelle la différence Ao; n'entre pas, sera encore l'intégrale complète de cette équation différentielle, à cause de la constante arbitraire qu'elle comprend. Mais comme l'intégrale (20) renferme une fonction

6(-i)^, de l'espèce de celles que nous avons indiquées au n" a,

504 LIVRE Vllf. CHAPITRE III.

laquelle reste discontinue, même quand l'exposant v^rie d'une manière continue , on ne peut faire que la valeur de^, tirée de Tintégrale (ao), soit une fonction continue; et ainsi cette intégrale n'a aucun sens par rapport à l'équation (2 1), à moins qu'on ne fasse disparaître la fonction diseontinHe, en assignant à la constante

arbitraire b la valeur zéro. Dans ce cas, le terme --

s'évanouissant aussi à la limite, l'équation (ao) donne

or*

valeur qui satisfait à l'équation (21), et qui en est une intégrale singulière, puisqu'on ne peut la déduire de l'équation (i) par une détermination convenable de la constante arbitraire a.

Le même résultat, se verra peut-être mieux encore, si l'on remplace la fonction

B{ — i)^* par6cos-r-;

comme cela est permis, tant que x désigne une variable discontinue assujettie à croître par intervalles constants Ao;. Assigner la valeur de cette dernière expression quand Aj; s'évanouit, ce serait assigner la H- ^ mite vers laquelle elle converge quand Ar converge vers zéro. Or, cette limite est, par la nature de la fonction, indéterminée et inassignable. On sait seulement

que le facteur cos -r- reste toujours citopris entre les

limites -j-i et — 1 , et par conséquent, que la quantité

indéterminée b cos— disparait toujours , lorsqu'on

prend la constante b égale à zéro.