CHAPITRE m
INTEGRiLTION PAR LES SERIES. lIES CAS SINGULIERS
QUE PRÉSENTE LE PASSAGE DES INTÉGRALES INDE- EINIES AXTTL INTÉGRALES DÉFINIES.
% i*^. Intégration par les séries.
315. Lorsqu'on peut développer une fonction différentielle en une série convergente dont chaque terme est intégrable, on obtient, sous forme de série, l'intégrale de cette fonction , que l'on complète en ajoutant une constante arbitraire : et si la série obtenue par Fintégration est convergente entre des limites données, elle fournira , à tel degré voulu d'approximation , la valeur numérique de l'intégrale définie de la fonction proposée, prise entre les mêmes limites.
Prenons pour exemple l'intégrale
dont il a été question à la fin du dernier chapitre : on aura en série convergente
4J«»=H 1 1 T+etc. (i)
d'oîi
ou bien
'dx , a^x* aV . ,^.
— = const. +losx + ax'^ 5-5 -f-etc. (3)
La série (i) étant convergente, il est aisé de voir
que la série (3) est convergente à fortiori pour toutes les valeurs de x. En conséquence, on aura, pour des valeurs de même signe, et d'ailleurs quelconques, des limites x^^ ^, ,
,^ — = log(-;)+a(^,-x„)+(..»-x.)4-etc.
La formulé serait en défaut , si les valeurs des limites étaient de signes contraires , auquel cas le terme
log^-^ ] devient imaginaire. Ceci tient à ce que la fonction sous le signe Réprouve une solution de continuité correspondant à ^ = o : cas singulier que nous avons déjà indiqué en exposant les principes de la théorie des quadratures [35 et 54]» et sur lequel nous allons revenir.
En développant en série le radical |/i — e^sià'f ,.on trouve
yv^i— <îiiîii>q).rfç=yrfj)[i - — c* sin^ç-" ^c^ sin* 9
— " — r-^^ wn" 9 *— etc. I 2.4.0 ^ ^
= const. +9 c'fsm* (fdf '—c^/sin^ <fd(f
Chaque intégrale partielle de la fonneysin*'f é/<p , / étant un nombre entier, s'obtiendra d'apràs les règles données dans le précédent chapitre. En outre, comme on peut supposer c* < i [3io] et qu'on a évidemment, pour des limites quelconques <Po, <Pr9
/' sin" (fd<f < I 'rfç, ou / ' $in*' (fdtf < (f^ — ç^» .90 J 9o J 9^
la valeur de l'intégrale définie
arc5ina;=
INTEGRATlOir PAR LES SÉRIES. 37
/ ' V/'i— c>8iii»ç.rf9 = 9, — 9o ^7 sin'çrfç
i.l //*9i . < , 1.1.3 ,/*9i . fi , r tri sin* 9^79 ^-^ ^ 1 «i'* 9"? — etc.
se trouve développée en une série toujours convergente , et dont, pour l'ordinaire, la convergence sera très-rapide.
316. Quand on intègre par les séries une fonction différentielle dont l'intégrale soys forme finie est une' fonction connue , on obtient (souvent de la manière la plus simple) le développement en série de cette dernière fonction. Ainsi l'on trouve
Si l'on détermine la constante arbitraire par la condition que l'arc soit nul quand le sinus est nul , cette série ne donne que les arcs compris entre db 7 ir; mais on peut concevoir que la formule donne aussi les arcs qui sortent de ces limites, moyennant qu'on assigne d'autres valeurs à la constante, ou qu'on change de constante chaque fois que la fonction sous le signe /éprouve une solution de continuité. Dans tous les cas , et quelle que soit la valeur de la constante, la série n'a qu'une valeur déterminée pour chaque valeur de Xj tandis que la fonction arc sin, x comporte un» infinité de valeurs. La série est convergente ou divergente pour les valeurs de X numériquement plus petites ou plus grandes que Vanité.
Le développement de la fonction arc sin .r, suivant les puissances, de ^, que Ton vient d'obtenir très-sim-
plement au moyen de l'intégration par les séries, aurait amené des calculs compliqués, si l'on avait voulu faire usage de la formule de Maclaurin.
*317. Proposons-nous encore d'exprimer en séries la valeur de l'intégrale yê""' Va:, qui se présente sans cesse dans la théorie mathématique des ebances : oni a
e-' =1 1 -4-etc.,
d'où
/**,,, x^ 1 a? XX'
I e— dx = x — ^H •-=- hetc,
^o O 1.2 5 i.ft.O 7
développement toujours convergent* L'intégration par parties donnerait
I ^-'Vfltr = «~»\ -^ -h - / e-'^x^€lx y etc.; ce qui conduit à cette autre série convergente
Enfin l'intégration par parties donnerait encore
/e-'^dx /*i , . I ,3 fer^dx
— ï-= j ^-e- a:da: = -^.,-' -~J -^,etc.;
d'où
r ,, ar-»'r I 1.3 1.3.5 1
Je-^ dx=const.- — ^T-~ + ^-^.^j+etc.j ,,
et ea remarquant que toua le& terme» de la série <fevien-i neot nuls, pour x=z as ,
Cette dernière série finîl toujours par diverger; mais la
INTHCIlATIOir PAR LES SiRIES. 39
convergence subsiste d'autant plus lon^emps que le nombre x est pluS'grapÉd; et il est permis [a5]^ de feiVe uurge de la poftiôii convergente de la sërîé, pour le caleul apfMtyeh^ des valeurs numériques*, attendu qu'on peut toojdufs adsignet* de» limites ailK Valeurs d^s intégrales
X- ^ J , ^ - "^^ et par suite à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un terme de rang quelconque. Tel est l'avantage inhérent au mode de développement qui résulte d'une succession d'intégration par parties.
31'8. De la ibrttiule dé Maclaurin
>=/o)+/'(o>î+/'(o).^+/'».:^-»-etc. (a)
on tire généi^lement
ffxdx=:zconst. +y(o).~ +/'(o). V-f^o) — ^-5 4- etc.
ou
/xeir=/(o).f + /'(o>fl+/'(o).-^+etc. (a.)
Si la série (<7) est convergente, la série (a,) l'est aussi : en effet, en arrêtant la première au terme de rang 2 , on commet une erreur exprimée par
(bcétuit une vateor de la variable comprÎK entre o et x ; et par conséquent , lorsqu'on aurête la seconde série au tenne de niétne rang. Terreur «commise a pour valeur
/(i)((b). f' ^f^ .=/'')(flr). /%^^ s W
Pow que le* séries (a), (a.) soient convergentes, il fout et il suffit que les quantités négligées (e) , (^,) tombent
40 LIVBfi V. — CHAPITRE III.
au-dessous de toute grandeur donnée, pour des valeurs ccmvenables de /, et pour toutes les valeurs de . jc^ comprises entre les limites de l'intégration. Or, si cette condition est satisfaite à l'égard de la quantité (e) , elle le sera à plus forte raison à l'égard de la quantité (^,).
