ISQUATIOIVS AUX DIFFERENCES FINIES

619. Ces faits d'analyse s'accordent parfaitement avec ce qae nous savons sur la nature des fonctions continues et discontinues, et sur le passage du fini à l'infiniment petit par la considération des limites , sans qu'il y ait lieu d'en conclure en thèse générale, comme l'a fait Lagrange ('), que, « dans le passage du fini à l'infiniment petit, il faut supprimer entièrement tous les termes qui peuvent contenir l'infiniment petit , quoique ces termes puissent n'être pas eux-mêmes infiniment petits »; ni surtout que « si le passage du fini à Finfini* ment petit peut être admis comme mojen mécanique de calcul, il ne peut servir à faire connaître la nature des équations différentielles. »

Nous sommes seulement autorisés à conclure de ce qui précède, que, parmi les intégrales complètes, en nombre infini, que comportent certaines équations aux différences, toutes, à l'exception d'une seule, contiennent des fonctions de àkX qui deviennent discontinues pour tix=o : car, s'il en était autrement^ on en dédui- ' rait, en passant à la limite, plusieurs intégrales complètes d'une équation différentielle correspondante, ce qui est absurde. Quand cette équation différentielle admettra une solution singulière, celle-ci pourra se déduire, tantôt d'une intégrale singulière de l'équation aux différences , tantôt de l'une de ses intégrales complètes, moyennant qu'on supposera nulle la constante arbitraire que celle-ci renferme^ pour supprimer la fonction de ^x dont la présence empêchait le passage du fini à l'infiniment petit.

(") Leçons sur le calcul des fonctions, p. 3o3 et 3o4 de l'édit. de 1806.

506 LIVRE vin. CHAPITRE 111.

L'équation

qui nous a aussi servi d'exemple , conduit par l'élimination de a, quand àx a une valeur constante quelconque , à l'équation aux différences

qui donne à la limite

et l'on peut, en effet, vérifier que l'équation (16) est l'intégrale générale de l'équation (aS). En prenant ia dérivée de l'équation (16) par rapport à a^ on a , pour déterminer ia valeur de a en fonction de a: qui convient aux solutions singulières de l'équation (a3), , 16 I

d'où l'on tire

et par suite

Mais le premier couple ne satisfait pas à l'équation (a3\ et l'autre système de valeurs iie peut représenter une fonction continue : ainsi , l'équation (2 3) ne comporte pas de solution singulière , bien que l'équation (22) qui lui correspond en admette une.

^CHAPITRE IV