VARIABLES CONTINUES. ^NOTIONS SUR LES ÉQUATIONS

AUX DIFFiRENGES MÊLÉES ET SUR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES, A DEUX VARIABLES INDE- PENDANTES.

§ 1^'. Des équations aux différences finies entre des Tariables continues.

620. Lorsque Tod considère une équation aux différences comme une condition- à laquelle doit satisfaire une fonction continue de la variable indépendante, la fonction ne peut être déter^linée, dans toute l'étendue de son cours, qu'autant que Ton assigne arbitrairement, ou par des conditions indépendantes de Téquation proposée, la forme de la fonction dans Tintervalie ^x de deux valeurs consécutives de la variable indépendante, si l'équation aux différences est du premier ordre, ou la forme de la fonction dans l'intervalle Aj:-|-Aa;„ si l'équation est du second ordre, et ainsi de suite.

Ainsi, étant donnée l'équation

/(^>r»Ar)==o, (i)

où nous supposerons, pour plus de simplicité, que a: croît par différences constantes, égales à l'unité, on ne pourra construire pour toutes les valeurs de j; la courbe dont^ est l'ordonnée, qu'en traçant d'abord arbitrairement cette courbe entre deux abscisses Xo, To-j-'j ^^^^

l'une est arbitraire : réquation aux difFérences déterminera le tracé de la courbe dans tout le surplus de son cours, puisqu'on en déduira les valeurs de/- correspondantes aux abscisses

...j X — 3, X — a, X— I, x+i, J?-4-a, x+3,*.. X étant une valeur quelconque de l'abscisse, comprise aitre x^ et x^-^x. Il faut donc réciproquement que l'iotégrale de l'équation (i), pour avoir le même degré de généralité que l'équation dont elle dérive, admette dans son expression une fonction arbitraire d'une espèce particulière.

Lorsque l'équation aux différences est du second ordre,

ou de la forme

/(ar,7Ar,A'j)=o, (a)

il faut, pour la construction de la courbe dont j est l'ordonnée, que l'on trace d'abord arbitrairement cette courbe, non-seulement entre les abscisses oTo, Xo-f-ii mais encore entre les abscisses itoH"' 9 "^oH"^ 9 ^ 9"* ^^ vient à tracer entre les abscisses x^x^'-\'\ les deux courbes qui auraient pour ordonnées j^ et Ay. Réciproquement, l'intégrale seconde de l'équation (a), pour avoir toute la généralité qu'elle comporte, doit admettre dans son expression deux fonctions arbiti*aires, et ainsi de suite.

621. Lorsque x désigné une variable indépendante, à difFérences constantes, l'introduction de ces fonctions arbitraires n'exige pas d'autres procédés de calcul que ceux qui ont été suivis pour l'intégration des équations aux différences, quand cette opération avait pour bat la détermination du terme général d'une série. En effet, rien n'empêche de considérer les constantes arbitraires introduites par l'intégration comme des fonctions pé-

ÉQCATiONS ENTRE DES VARIABLES CONTINUES. 509

riodiques telles que

V'"Â^' cos— j, assujetties à reprendre les mêmes valeurs chaque fois que a: augmente de Xx^.el d'ailleurs arbitraires : la différence A(p étant nulle, en vertu de cette hypothèse, pour toutes les valeurs dex^ de, la même manière: que si 9 désignait un paramètre constant. Tant que la variable yr n'indique que les termes successifs d'une série dont x est l'indice, cette distinction n'est d'aucune importance, puisque la fonction f , aussi bien qu'une constante pro-^ premeut dite, conserverait toujours la même valeur numérique pour toute la série des valeurs de/; mais quand au contraire a: et 7* sont des variables continues, la fonction 9 varie avec a:; et il ife s'agit plus que de la déterminer de manière que la courbe dont jy est l'ordonnée se confonde avec une courbe tracée arbitrairement entre les abscisses Xo^Xq-^-^x.

Soit F(x,/,a)=o l'intégrale d'une équation aux différences du premier ordre, avec la constante arbitraire

a: elle deviendra

quand on y remplacera la constante par la fonction arbitraire 9. Nous supposons que l'intégrale F=:o ne contient pas de fonctions telles que ( — i)', incompatibles avec l'hypothèse de la continuité des variables x,j.

Désignons par (x l'ordonnée de la courbe tracée arbitrairement entre les abscisses XoyXo-\^x : on aura, pour les valeurs de x comprises entre ces limites,

F(ir, fr , 9) == o , d*où <p = ^x , ^ désignant une fonction déterminée et connue. Il suf-

510 UVRE VIII. -~ CHàPITBE IV.

fira donc [livre V, chap. XII] de développer en série trigODométrique convergente la fonction ^x donnée entre les limites x^^x^-^^x^ puis de reporter cette série à la place de 9 dans l'intégrale (3).

Si l'on avait l'intégrale seconde d'une équation du second ordre avec deux constantes arbitraires a^bj on en tirerait deux équations de la forme

F(jr,7,Aj,a) = o, F,(^,j,A/,*)=o, et en remplaçant a^b par deux fonctions périodiques arbitraires 7,91,

F(^,j,Ar,?) = o, F.(j:,/,Aj,9,)=o.

Soit (entre les limites x^^ x^-^ ^x) y=Sxj ^jr={j^x : il viendra

V{x, £r,f,x,(p)=o, F,(a:, fa:,f.ar,(p,) = o, d'oîi

et il ne s'agira plus que de développer les fonctions données ^x^^xX en séries trigonométriques , pour les substituer ensuite au lieu de a^ b dans l'intégrale seconde. Le même calcul s'appliquerait aux intégrales d'un ordre quelconque, mais on a besoin de le modifier dans le cas où les différences de la variable x ne sont plus constantes.

622. Prenons pour exemple l'équation traitée ci-des- «us [61 1]

dont l'intégration, lorsque x el y sont regardés comme des variables continues, revient à déterminer la fonction if par la condition

Nous avons trouvé qu'on y satisfait en prenant