ÉQUATIONS ENTRE DES VARIABLES G09T|NIIES

mais, ici, les constantes x^^ c perdent la signification qu'elles avaient lorsque x^jr désignaient les termes correspondants de deux séries distinctes; et Tëquation (5) étant regardée comme une solution de l'équation (4), on peut, sans restreindre l'étendue de cette solution, rem-

placer c'° par c, ou, ce qui revient au même^ poser

0^0=1. On a ainsi

Remarquons maintenant que cette équation résulte de l'élimination de / entre les deux équations

x= 2', 7= c»' + c — a'^ dans lesquelles i est une variable qui croît par différences constantes*, égales à l'unité. On y peut donc remplacer la constante, c par une fonction périodique de i, <p(sin 1 ir/, cos '^T:i)y qui ne change pas de valeur quand i augmente de l'unité : ce qui revient à écrire, au lieu de l'équrftion (6),

Toutes les formes de la fonction if^ comprises dans la précédente formule, satisferont à l'équation (4).

Il est facile de voir que l'on pourrait construire la fonction if dans toute l'étendue de son cours, en vertu de l'équation (4)> si l'on traçait arbitrairement la courbe dont cette fonction est l'ordonnée, entre les abscisses x^, 'àx^^ Xo désignant une abscisse quelconque, différente de zéro. Soit (x cette valeur donnée de i/x^ entre les limites indiquées ci-dessus : on aura

f(20=<p^' + 4;., d'où (p^O)/. ((p)

£n conséquence 9 sera une fonction de / assujettie à reprendre les mêmes valeurs quand / augmente de Tunité, et à se confondre avec une fonction donnée de i entre les limites

log^. log^o

log a log a

On pourra donc exprimer ç en série trigonométrique de ij remettre pour 1 sa valeur en x, et substituer dans l'équation (7) cette valeur de ç, au moyen de quoi la fonction i(X aura reçu l'expression qu'elle comporte.

Les deux termes du. dernier membre de l'équation (7) se réduisent à l'unité pour x=o, à catise que les quantités de la forme sin (±00 ), cos. (±00 ), quoique indéterminées, sont comprises entre des limites finies [618] : d'ailleurs on tire directement de l'équation (4), ^ (oJ=2, quelle que soit la forme particulière de la fonction ^, pourvu seulement qu'elle soit assujettie à rester coi^tamment positive, condition sans laquelle la formule (7), dont le dernier membre est essentiellement positif, ne pourrait subsister. .

En différentiant l'ëquatiou (4) par rapport à x*, on a ^'{pLxy=-^x.'^' Xj d'oii tj;'(o)=o, quelle que soit la forme particulière de la fonction ^.

La formule (7) ne s'étendrait pas aux valeurs négatives de Xy parce qu'en effet la fonction (fx ne peut être construite au moyen de l'équation (f) que pour les valeurs positives de j:=a', après qu'on s'est donné la forme de la fonction {x entre les abscisses x^ tix^j x^ désignant une abscisse positive.

Ajoutons ici une remarque essentielle et dont il ne parait pas que les auteurs qui ont traité de ce point d'analyse aient tenu compte : c'est que la formule (7),