ÉQUATIONS ENTRE DES VARIABLES CONTINUES

malgré sa généralité, ne satisfait pas aussi généralement que possible à l'équation (4); précisément parce que l'emploi de cette formule suppose que la fonction ^ reste constamment positive, et par suite que la fonction £r, donnée entre les limites x^^ ^Xoj ^^t elle-même constamment positive entre ces limites. Or^ rien n'empêcherait de construire la fonction ^ hors de ces limites, en vertu de l'équation (4) 9 quand même la fonction £r serait constamment négative ou passerait du positif au négatif entre les limites Xo^ 2x^,

623. On a ramené à l'intégration d'équations aux difTérences, entre des variables continues, la détermination des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles ; et quoiqu'il ne paraisse pas que ce rapprochement mène à des applications vraiment utiles, il convient de l'indiquer pour l'enchaînement des théories. Un seul exemple remplira suffisamment ce but.

Soit l'équation

z=^<f{a; + ay) -h ^{x—ay) , provenant de l'intégration de l'équation aux différences partielles du second ordre

et dans laquelle on se propose de déterminer les fonctions arbitraires ^ , i|;, par la .condition d'avoir i"* pour j==i?ix, z=:fx\ pour y^=.nx^ z=zfx\

ce qui revient à donner les courbes d'intersection de. la surface dont a:,^,^ désignent les coordonnées courantes, et de deux plans menés suivant l'axe des z. On aura

514 LIVRE VllI. CUAPITRC IV.

/r = (p[^i +am)] + ^x{i —am)] , ix = ^\x{i + a/i)] -f- i|{ai[i — ««)]; et si Ton pose successivement

x{i — am)z=:v^' x{i — rt7t) = f^, ces équations prendront la forme

En combinant ces équations par voie de soustraction, on élimine la fonction ^ et Ton a

VI — am J ^\\ — an ) ''\\'--amJ \\ — an)

ou plus simplement

?(*«) — ?» = Fmj (9)

en posant

i+g/t {\+am){x — an) ,

I — an (i — am)\\-{-aji)

et en désignant par F^ une fonction dont la composition est donnée. Or, il est clair que l'équation (9) peut se ramener à une équation aux différences, comme l'équation (4) du n° précédent, et se traiter d'une manière analogue. Ainsi, quand on regarde £^ et ^ comme des fonctions de l'indice i, t[ui croît par différences constantes égales à l'unité, on a

tt,4..z=A«„ (pt+x— ç,=F«„ d'où «,=iioA', <p,=i:S.F(ttoA'> Après que l'intégration indiquée par le signe 2 aura été effectuée, on remettra pour i sa valeur en u^ et l'on aura fi/ exprimé en fonction de u : cette fonction devant contenir, au lieu de constante arbitraire, une fonction arbitraire qui ne change pas de valeur par te changement de il en hu^ ou une fonction de la forme

ÉQUATlOirS ENTRE DES VARIABLES CONTINUES. 515

On remettra pour u^ dans fa, sa valeur en v^ et Tune quelconque des équations (8) détierminera la forme de la fonction ^.

Mais il faut bien remarquer que les données de la question ne font point connaître la forme de la fonction ^ entre des abscisses telles que u^^ hu^^ et par conséquent ne conduisent pas à la détermination de la fonction arbitraire t;^ qui entre dans l'intégrale aux différences de l'équation (9); sans compter que cette intégrale , quoique complète , pcfut ne pas avoir autant d'étendue que l'équation (9), ainsi que nous l'avons fait observer dans le n*" précédent, au sujet de l'intégrale de réquation (4). U faut donc regarder comme une simple transformation analytique, qui au fond n'avance pas la solution du problème, ce procédé pour la détermination des fonctions arbitraires dans Içs intégrales des équations aux différences partielles : procédé qui a occupé les géomètres, avant que tes applications à la physique eussent fait envisager la mépne question sous d'autres faces.

624. Parmi les problèmes de pure géométrie, dont la solution peut se rattacher à l'intégration d'équations aux différences, entre des variables continues, nous citerons le suivant, connu' sous le nom de problème des trajectoires réciproques. On ^lemande de tracer une courbe MM' {Jig. io4 ) telle que, si l'on construisait? la courbe NN' qui lui est symétrique par rapport à l'axe des^, et si l'on imprimait à celle-ci un mouvement de trahs-^ lation parallèlement à l'axe des/*, elle couperait toujours la première sous un angle constant âErrzj'a^/aj,/^^ étant

les tangentes aux deux courbes, menées par le point a oïl elles coupent Taxe des^.

Soient /^y^ deux points pris sur .l'axe des x à égaies distances de Forigine ; menons les ordonnées pm , qnri^ et traçons la trajectoire vv' qui passe par le point rî : Tangle v/^'^r=N/l^, puisque la trajectoire NW s'est transportée eu vv' en glissant parallèlement à l'axe des 7; l'angle Nnq est égal à Mmp, à cause de la symétrie <les courbes MM', NN' par rapport au même axe; donc l'angle ari>i=anq-\^n>i=an!ij-\-Mmp. Mais on a aussi, par hypothèse, fl/^'v=a, et si l'on désigne psLV fx l'ordonnée de la courbe MM', par x et — x les abscisses OÇj Opj il viendra

tang/i/i'y = ^, UingMmp=jr^^^\

par conséquent la fonctionna: doit, d'après les conditions du problème, vérifier la relation

arc tangjp^ + arc tangy^p^ = «. (10)

Posons

-T- - a 4- arc tang yy- =to : (11)

l'équation (10) devient ix-W — 3c)=.o\ et elle exprime que la fonction f , qui d'ailleurs peut être prise arbitrairement, est une fonction impaire.

On tire de l'équation (11)

nf^ ' ï — tangua. tangfjT

tang(7a-|-£r) tang^^a+ tang£r '

mais quand fr désigne une fonction impaire quelconque, tan^ îx désigne aussi une fohction impaire quelconque : donc on peut écrire plus simplement

^ I — tang^-tt'f*^ •^ tang7a4-far

' " iQUATIORS ENTRE DES VARIABLES CUNTIMOES. 517

et par suite

•^^-y tangi«-4-fx '^' Tintégration amenant une constante arbitraire.

Si Ton voulait rattacher cette solution au calcul intégral aux différences, on poserait

arctang-^i=7„ arc tang jrr:^^ =7i+.> ^.+.=— ar,, d'où

et en éliminant i\

Les lettres a^bjC désignent, dans le cas de la discontn uuité des variables, des constantes arbitraires qui devien> nenty dans le cas contraire, des fonctions de / assujetties seulement à ne pas changer de valeur lorsque i augmente de l'unité ou lorsque x se change en — - x. Donc, dans l'équation

arc tang 77- = - a+CAy (12)

c représente une fonction paire quelconque, et ex une fonction impaire quelconque de la variable x\ au moyen de quoi les résultats exprimés par les équations (1 1) et (12) coïncident. Ce raisonnement a la rigueur exigée, parce qu'on peut concevoirque le passage de la discontinuité à la continuité n'a lieu qu'après l'éliini nation de la. fonction discontinue ( — 1)^; mais on vient de voir qu'il est plus simple de n'y pas recourir.

S 2. Des ëquatioDs aux diffëreuces mêlées.

625. On appelle équations aux différences mêlées celles dans la composition de.Hquelles entrent à la fois tes.

51 8 LIVRE Vf 11^ CHAPJTRS IV.

coefficient» différentiels et tes différences finies d'une fonction^ comme ^nssi celles dans lesquelles figurent les coefficients différentiels d'une différence ou les différences d'un coefficient différentiel. Des équations de cette nature se rencontrent, non-seulement à Foccasion de problèmes de géométrie qui ne sont guère que de pure curiosité, comme celui du n^ précédent, mais encore dans les recherches analytiques qui se rattachent à l'intégration complète des équations aux différences partielles, et à la détermination des fbnctîpns arbitraires d'après des conditions physiques données.

Supposons, pour prendre un exemple, qu^une fonction fx soit assujettie à vérifier l'équation

fx—f\x+^T) — h^{fx+'f{x+^l^ = ^, (i3) ^,/ désignant des constantes : si l'on pose^^ci=:/, a/ — A.r, cette équation prendra la forme

'^■*"^'(^-^ + ^^^ = ''' et elle sera (lux différetices mêlées ^ d'après la définition que nous venons de donner.

On y satisfera en posant

y^=^fx = A cosXr + B sin Xr, A, B, X désignant des constantes : car il vient en conséquence de cette supposition,

/a?-h/(^+2/)=2[AcosX(a:-f-/)+BsinX(a:+/)]cosX/, /^— /(^+2/)=2[Asinî^:r-^-^ — BcosX(x+()]s*n^^> /'JT— /'(j:+a/)=:2[AcosX(j:-h/)H^Bsin ^x+lyÇk sin X/, d'où, en vertu de l'équation (i3),

2[AcosX(^ + /)+ BslnX(^^-/)][XsinX/— A:'cosX/]='0. Si donc on désigne par A„ B< des constantes indéterminées, et par X, Tune des racines, en nombre infini, de

iQVkTlOVS AUX BIFPinSSrCES MÊLÉES. 519

rëquatioD transcendante

XftiuX/ — A:*ct>5W=o, (i4)

on pourra poser^ à cause de la forme linéaire de Téqua-

tion(i3),

yi?==: S, Ajcos Xrfj?.+ 2.B, siuX^r,

la sommation s'étendant à toutes les valeurs de Tin*

dice /.

La formule précédente, (}onne