B,- sm Xiar = |[/a:— /(— a;)]==F^; (i

et par là on arrive à la détermination des coefficients A|> Bj^ quand la fonction/^ est donnée entre les limites — /,-j-/, ou quand les fonctions jÇr,Fa:, dont la pre^ mière est nécessairement paire , et la seconde nécessairement impaire, sont données entre les limites o, /.

En effet, si l'on désigne par i' une valeur particulière, et d'ailleurs quelconque, de l'indice i, ou tirera de l'c^ quation (i5)

. /ki sîn Xil . cos \cl — \^ sin "kfl . cos X A

En vertu de l'équation (i4)i '^ coefficient de A, s'évanouit pour toutes les valeurs de i différentes de i ; lorsque i=i!^ ce coefficient se présente sous la forme -^ et il

a pour valeur

a\/-f-sin aXil

on en conclut

Â-ki

' aX,/-|-sin2X|/

L'équation (i 6) donne

ii BX cosX^r =F'^ ,

et par conséquent

aXt/ + sin aX-/

En générai y les intégrales de toutes les équations linéaires, aux différences mêlées, s'expriment par des sommes d'exponentielles, de sinus ou de cosinus, qui ont pour paramètres les racines en nombre infini d'une équation transcendante, et qui sont affectés de coefficients constants et arbitraires.

Lorsque l'équation aux différences mêlées, linéaire ou non linéaire, est susceptible de s'intégrer, d'abord par rapport aux différences finies, ensuite par rapport aux différentielles, ou réciproquement, on dit qu'elle est aux différences successives; et l'on peut concevoir qu'elle résulte immédiatement, ou d'une différentiation effectuée sur une différence, ou d'une différence prise après une différentiation. Ainsi rien n'empêche de regarder l'équation (lo) comme une équation aux différences successives; car, en la traitant, on a d'abord déterminé la fonction f'x par une opération équivalente à une intégration aux différences, et ensuite on est remonte de la rouctiouy*'.r à la fonction^ par une intégration proprement dite.

% 3. Notion» sur les équations aux différences finies, à deux variables indépendantes.

626. Nous ne quitterons pas cette matière sans parler brièvement de l'application du calcul des différences finies aux fonctions de deux variables.

Soit z une fonction de deux variables x,^, qui croissent par différences constantes tkXjtkfj désignons par