L'intégration par parties donne

t fadi^^zxfx — j f*x.xdxj

j f'x.a:dxz=.-affx jf^x.xdx^

ffx.a^dxzzz^x'fx — ^ f/'''x.a^dxy etc;

d'oii résulte la série suivante, due à Jean BernouUi ,

fxdx^const. -Srjx-^fx.— +fx'-—. - elc. (/)

On aurait pu la déduire directement de la série de Taylor

T(x-hk)=Fx-hF'x.^ + F*'x. — + F"x.--^+etc.; ' I 1.2 i.a.o

car si l'on fait dans celle-ci A=- — x, on en tirera Fxz=T(o)+V'x.'^^F''x.—+F'"x.-^—^tc.

et en posant F'xz^ifxy

f/xdx=F(o) +/x.^—fx.— 4-/'^. —^ — etc.

Or, il est clair que F(o), ou la valeur à&ffxdx^ quand X est nul y est aussi la valeur de la constante arbitraire qui entre dans l'équation ( /). i •

320. Lorsque la fonction fx n'est pas susceptible de ' se développer en séries dont la convergence soit assez rapide , ou lorsqu'on n'en connaît pas l'expression analytique et qu'on a seulement une table de ses valeurs pour des valeurs de la variable indépendante suffisammeat

rapprochées , on peut toujours calculer, approximativement l'intégrale j^d!^, ou l'aire de lai courbe qui a pour ordonnée^, en divisant l'intervalle des limites de l'intégrale en parties suffisamment petites Sx et en prenant la somme des aires des rectangles qui ont pour base ^x, et pour hauteur^ soit l'ordonnée fxj soit l'ordonnée y(j:-|-Aa?)« soit une ordonnée intermédiaire [33]. L'intégrale ffxdx pourra être calculée par ce procédé avec une approximation indéfinie, si la fonction^ a une expression mathématique d'où l'on puisse tirer les valeurs de^ pour des valeurs de x indéfiniment rapprochées : en admettant toujours que cette fonction ne devienne point infinie pour des valeurs de x comprises entre les limites de l'intégration. Quand nous traiterons en particulier du calcul des différences finies et de leurs sommes , nous entrerons dans les détails nécessaires sur cette nianière de. calculer approximativement les var leurs nuiçériques des intégrales.

S 2. Des cas singaliers que présente le passage des intégrales ^ ^ mdëfinies aux intégrales définies.

321. On a remarqué , dès le commencement de ce Traité [54]» que, lorsque la fonction /ir passe par l'infini pour une valeur ^ de a;, comprise entre x^^ et x,, de manière que la différentielle/^âf^ç prenne, pour .r = Ç , une valeur infi^pie ou indéterminée, l'intégrale définie

fxdx = Yx^—¥x,, (5)

conclue de l'intégrale indéfinie

ffxdx '='Yx + const.^ ne peut plus représeater la somme des valeurs de la différentielle ^flfci; entre les limites x^^ x\, ou la limite

42 LWRE V. — CHAPITUF. III.

vers laipzelle converge la somme des produits yiif./^, obtenue ea divissTDt l'intervalle or,— Xo. en parties A^ de pkis en plas petites. En^efifet, dlans le cas dom il s'agit, cette somme oa cette linlite œssent d'avoir une valeur assignable y et, à proprement parler, n'existent pas. Ainsi,, pour donner desr exemples; très-simples de ce cas exceptionnel, oa a

dx i>

-ç := log (a: — Ç) + const.-y

d'où' Von conclut, en passant; aux intégrales définies,

^*' ^-^ £ l ' .fi.

Mais si l'on suppose Ç > o et < ^„ l'intégrale définie (6) a une valeur négative, tandis que la quantité sous le signeyreste constamment positive ; ce qui montre bien , à posteriori, que cette intégrale définie ne peut plus être considérée comme un^ somme d'éléments différentiels. De même, dans cette hypothèse , l'intégrale définie (7) prend une valeur imaginaire , tandis que la quantité sous le signe y* ne cesse pas d'être réelle.

Si pourtant, comme M. Poisson l'a remarqué ,^ on fkit passer la variable x entre les' limites données par une liuite continue de valeurs imaginaires [17] dont aucune ne rende infinie ou indéterminée la différentielle ^^ia:, rien n'empêchera de considérer de nouveau ^intégrale définie (5) comme la somme des valeurs imaginaires qu'aura prises dans l'intervalle Pélémcnt dîfférentiel^cir, somme qui peut être évidemment, selon lès cas, imagi-