PASSAGE AUX INTÉGRALES DÉFINIES
naire ou réelle. Dans les exemples donnés ci-dessus, on pourra prendre
x = ~x^{i — cos8+ l/Zlî.smG), d'oii
dw=z -- X, (sin 6 -f- ^Hl . cos V\d^\
et les limites de la nouvelle variable Q CQrrespondant aux: limites .r = o, ^=a:,, pourront êtr^
8=0, 6=(2*+l)lC,
i désignant un nombre entier quelconque.
322. Quoique h fonction^ devienne infinie pour la valeur a:=Ç, comprise entre les limites Xoj ^x> U différentielle ^d[r peut ne pas prendre pour a:=Ç une valeur infinie ou indéterminée, et d^ns ce cas riiitégrale définie
fxdx
ezprioie encore la somme des valeurs de la diffét*entielle fxdx^ entre les limites de l'intégrale. Ce point a déjà été établi d'une manière générale par la considération des courbes [35 et 54]. Pour y appliquer le calcul, nous remarquerons que lorsque la fonction^ est rendue infinie par la valeur xt=?^y on peut la concevoir
mise sous la forme
fa
k désignant un exposant tel que la fonction îx ne devienne pas nulle ou infinie pour x=Ç. Cela posé, si l'on fait
il viendra
/o9 ^i désignant les valeurs de t qui correspondent à x=x^j .r=x,, et ^t étant la fonction qui provient de la substitution de la valeur de x en ^ dans (x. Par hypothèse la fonction ^t conserve une valeur finie ; et si l'exposant k tombe entre o et i , ^ conserve aussi toujours une valeur finie entre les limites de Tintégrale; de sorte que la différentielle
conserve toujours une. valeur infiniment petite, et que l'intégrale (8) est la somme des valeurs de cette différentielle entre les limites de l'intégration.
La transformatioi^i tombe en défaut si l'on a kz=: i , et dans ce cas réléraent différentiel^cte prend, pour x=^^^ une valeur finie et indéterminée, pourvu d'ailleurs que la fonction fx ne passe pas brusquement d'une valeur finie à une autre, quand x atteint la valeur ^.. Eneffet , l'on, peut considérer cet élén^ent différentiel comme la limite vers laquelle converge l'intégrale définie
quand on prend pour e un nombre positif die plus en plus petit : ^09 ^r désignant d'ailleurs des nombres quelconques^ finis, constants et positifs. Dans le passage à cette limite y le terme ix converge vers la valeur constante f^ , finie et unique par hypothèse : donc on a
quantité indéterminée , à cause de l'indétermination des constantes ^^^^i*
