PASSAGE AUX INTÉGRALES DEFINIES

En général , que la fonction fx soit algébrique ou transcendante, on peut poser

(x — ^)Jxdxz=zfXj ^désignant toujours la valeur de x qui venà/x infinie; et selon que la quantité f^ sera nulle, finie ou infinie, l'élément différentiel fxdx aura une valeur infiniment petite y finie et indéterminée, ou bien une valeur infinie ; et^ans le premier cas seulement Pintégrale

*Jxdx

pourra être considérée comme une somme d'éléments différentiels.

^323. Lorsque, dans l'intégrale définie

r'f[x,%)dx,

la fonction fx ne devient point infinie pour les valeurs de X comprises entre les limites x^f^ x, , quelle que soit d'ailleurs la valeur attribuée au paramètre e, il est indifférent d'attribuer à • une valeur déterminée, par exemple de supposer cette constante nulle, avant ou après l'intégration. Mais cette propriété, qui appartient aux intégrales définies en tant qu'elles représentent une somme d'éléments différentiels, ne subsiste plus en général, si la fonction y* passe par l'infini entre les limites de l'intégration.

Prenons pour exemple l'intégrale définie

^ jrp^ = arc tang-^ - arc tang ^. (g)

Si les nombres x^^ x^ sont tous deux positifs, en sorte que la fonction sous le signe ne passe pas par l'infini entre les limites x^^x^^ même dans l'hypothèse é=o, cette hypothèse donnera d'une part

46 UVHE y. CBAPfTRE III.

/>. îdx fx. ■

'et d'autre part

arc tatig -^ — arc tang — = = o;

de façon qu'il jsera èffectiy^nejQt indiifàiviit de substituer la valeur de # qq dédains ou ea «dehors du signe /', avant ou après l'iotegration. Mais, si le nombre x, était positif et le nombre x^ négatif , la première substitution donnerait toujours zéro pour la valeur de l'intégrale , tandis que la seconde donnerait