X. Xq T£ TC

arc tang arc tang — = — \ — =7r.

La raison en est que la fonction sous le signe devenant infinie pour la valeur .r=o,rélément qui correspond a cette valeur singulière prend une valeur finie, tandis que tous les autres éléments restent nuls, par suite de la valeur attribuée as.

Ce qui prouve bien qu'en effet les autres éléments de l'intégrale sont nuls, c'est qu'on peut attribuer aux nombres x^, Xj. des valeurs finies quelconques, et même des valeurs infinies; en d'autres termes, étendre ou resserrer arbitrairement les limites de l'intégrale, sans en altérer la valeur. Pourvu que la limite supérieure demeure positive et la limite inférieure négative, la valeur de l'intégrale définie sera égale à la constante it.

M. Cauchy a donné le nom d'intégrales définies singulières aux intégrales telles que (9), qui échappent par leurs propriétés anomales aux règles ordinaires du calcul des intégt'ales définies.

324. Lorsque Tune des limites de l'intégrale est l'infini, positif ou négatif, ou lorsque l'une des limites est

PASSAGR AUX Hf^lBGIlALES Il^miES. 47

rinfiuî positif et l'autre l'infini négatif, il faut, pour que l'intégrale ffxdx puisse conserver une valeur finie, que la fonction

xfa:z=.ix

s'évanouisse lorsqu'oa y fait x — ± oo . Admettons, pour fixer les idées, que les limites de l'intégral^ soient— oo , -|-oD : en désignant toujours par e un nombre positif qui couverge indéfiniment vers zéro, et par 5^^, Ç| des constantes finies €t positives quelcoaques, oa pourra poser

Donc il faut qu'on ait

= ï{— Qc)log$,+ f( oo)log (^, et par conséquent

à cause de l'indétermination des constantes ^o? $i-

* 325. Si la fonction fx est périodique, de manière qu'à chaque valeur de^ corresponde, dans l'étendue d'une période, une autre valeur numériquement égale et de signe contraire, la valeur de l'intégrale définie est nécessairement indéterminée. Ainsi, de l'équatiou

/^n mxdx^=- — (i — eos mix)y

48 LIVRE V. CHAPITRE IIÏ.

on déduit

sin mxdx = — (i — cos oo ), o w

valeur indéterminée (puisqu'il n'y a pas de limite vers laquelle converge le cosinus d'un arc^ quand l'arc devient dé plus en plus grand), mais pourtant comprise entre

les limites o,— m

Concevons maintenant que l'on multiplie la fonction périodique fx par une fonction ç(eji:), telle que ç (o)=i, et que l'intégrale y9(e^) dx^ prise avec des limites infinies, conserve une valeur finie. Il en sera de même à plus forte raison pour l'intégrale f^ix). fxdx. La valeur de cette intégrale variera en général avecf celle du paramètre e, en convergeant, aussi en général, vers une certaine limite, quand on prendra e de plus en plus petit. Et puisqu'à la limite le facteur 9 (e^) se réduit à l'unité, on pourra considérer la limite vers laquelle converge rintégrale/<p(ftr)^6i!r comme la valeur de l'intégrale ffxdxy ce qui lèvera l'indétermination de cette dernière intégrale.

Ainsi nous aurons, d'après les formules {b) du n9 3i4,

c^**sin mxdxz=.

e~" cos mxdx z

ce qui donne, quand on fait e=o,

/siniitr^ = — , / cosîitjr^=o, o m J o

équations déterminées, mais qui doivent être interprétées suivant la convention que l'on vient d'exposer.

^CHAPITRE IV

PRinClPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

326. Nous avons vu, dans les deux premiers chapitres du présent livre, comment l'intégration d'une classe nombreuse de fonctions algébriques et trigonométriques est ramenée à dépendre de la détermination des trois intégrales

/ V/i — c>8in»<p.rf<p, (II)

(i + a sîn* ff)}/i -s. c» 8m> 9 ' ^ ^

de sorte que, si ces trois intégrales pouvaient s'exprimer en fonction de (p^ sous forme finie, par des radicaux, des logarithmes, des sinus ou des arcs de cercle, on aurait sous la même forme les intégrales indéfinies, et par suite les intégrales définies d'une infinité d'autres fonctions plus compliquées.

Une telle expression n'est pas possible ('). Les intégrales (I), (II), (III) sont des transcendantes nouvelles, auxquelles on peut, pour l'abréviation de l'écriture, affecter des caractéristiques spéciales, de même qu'on désigne par l'abréviation log x l'intégrale définie

/^dx 1 X '

(') Voir le mémoire de M. Lioaville dans le 23^ cahier du Journal de V École polytechnique, p. 37.

qui n'a pas d'expression algébrique [70 et i38]. En conséquence, Legendre a proposé et l'on est convenu d'adopter les notations suivantes :

E(c,(p)= / l/i— ca8in«<p.cip,

Tl(c,a,^)=J ^(i + a8in'y)l/-,^ca,ioa<p^ de manière à ce que les intégrales indéfinies (I), (II), (III) aient respectivement pour expressions

F(c,<p) -h const. , E(c,(p) -+- const. , n(c,a,<p) + const.