Soit
l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes : si nous posons
-^ = ^' de manière que c désigne l'excentricité de l'ellipse , nous aurons pour la longueur de l'arc Bm (^fig. 'j'j), mesurée depuis le sommet B du petit axe jusqu'au point m dont l'abscisse est x [174]?
J o da^ J ^ ^ — ^
Faisons
;r=:asin9:
il viendra
-= / V^ I — c* tmaç . ^ = E(<;,(p).
A cause de cette propriété remarquable de la fonction E de mesurer l'arc d'une ellipse dont c est l'excentricité, quand on prend l'angle ? pour variable indépendante et
le sommet du petit axe pour origine des arcs, les trois fonctions F, £, Il ont reçu la dénomination à^ fonctions elliptiques y et on les distingue en le& qualifiant respectivement de fonctions elliptiques de ^r^m/éz-e, de seconde et de troisième espèces.
La constante c qui représente, dans la fonction de seconde espèce, l'excentricité d'une ellipse, se nomme en général le module : la constante a, qui n'entre que dans la fonction de troisième espèce, et qui peut être positive ou négative, réelle ou imaginaire, conserve spécialement le nom de paramètre.
La variable indépendante <p se nomme Xamplitude. Si du point O comme centre , avec le rayon OA, on décrit un cercle, et qu'on prolonge l'ordonnée pm jusqu'à la rencontre du cercle en n, on a Op =0n. sin BOn. Ainsi l'amplitude ^ est représentée géométriquement par l'angle BO/i, quand, la fonction E (c, (p) est représentée géométriquement par l'arc elliptique Bm.
Les trois fonctions elliptiques sont évidemment des fonctions impaires de ep [i8], puisque la différentielle d(^ change, de signe par le changement de (p en — (p^ tandis que le facteur qui multiplie d^ sous le signe y^ ne change pas.
Quand l'amplitude 9 est égale à un quart de circonférence, ou lorsqu'on prend ^ 77 pour limite supérieure des intégrales, les fonctions sont dites camplètes, et on les désigne simplement par
F{c), E(c), n(c,4 Si les valeurs des fonctions elliptiques sont calculées pour un quart de circonférence, c'est-à-dire, pour toutes les valeurs de <p comprises entre o et ^ ic, elles se trouveront déterminées pour des valeurs quelconques de ^,
à cause de la périodicité de la fonction siu^(p qui entre sous le sijgne d'intégration. Ainsi Ton a
F(^,T ^+?)=2F(c>-F(cr,i^— (p),
¥(€,^7: + 9) = 4F(t?)-F(cr,^iu-(p),
F(c,27r+ ?) = 4F(c)+F(c,<p), et ainsi des autres.
Le module c doit toujours être supposé < r [3io] : deux modules c, c' liés par l'équation c*-|-c'*=:i, sont dits complémentaires.
328. Désignons par 9, ^, (i. les trois cotés d'un triangle sphérique^ dans lequel l'angle M, opposé au côté [x, serait donné par l'équation sin M= c sin (x ; de façon que^ si l'on pose pour abréger ^
COS M = ï/i— ca8m»(it=A[X,,
la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donnera la relation
cos (t = cos <p cos ^j/ + sin (p sin <j*. Ajt , (i)
et par suite
I — i ^ ^^ ;= (cos <p cos <|; + sin (p sin ^j;. A(i.)*.
En résolvant cette dernière équation par rapport à Api, et en rejetant la racine qui donnerait pour A^g, une valeur négative, on trouve Apt(i — c' sin* <p sin*ij^) = — <f sin <p sin ^j; cos 9 cos ^j;
-(- {/'i — c* (i — cos* 9 CO8* ^ -\- sin» 9 sin» ^ — c» sia» 9 sin» ^). -
Mais il est aisé de vérifier que la quantité sous le radical se réduit à
(i c»sin*9)*(i — c* sin'<];)* = (A<p)\(Aij^)*, en désignant par A<Py A^ des quantités composées en f ,
^ comme Api Test en (x : donc, suivant cette notation,
. A<p. Avjf — ç' sin 9 sin ^ cos ^ cos ^ . .
*^ I — c* sin* 9 sin* ij; ^ "^
On en conclut, après quelques transformations,
. ^ I — (A(x)* (sin (p cos <j;Av}f + sin ^ cos cpA<p)"
^ c* (i — c* sin* 9 sin* \];)*
ou
sin <p cos ^^^ + sin ^j/ cos <pA<p .^.
Sm M» — . ; — ; — ;; ; — —-s • iô)
^ 1 — c* sm* <p sin* ^ ^ ^
Si Ton différentie cette dernière équation, en y considérant ^ et ^ comme des arcs variables, et (i. comme un arc constant, il vient
A(p (i — c*sin*<psin*^j;)* A<j/ (i — c*sin*(psin*ij;)* ' ^ ^
Pour abréger, nous désignons par n(<p, ^) la fonction
(i + c* sin* cp sin* ^j;) cos <p cos iJ^A<pAi|; — sin <p sin ^ -f-^ sin <p sin^(sin* <p+sin* ^ — cos*9 cos*^ — c*sin*<p sin*ij;). Comme l'équation (3) est symétrique par rapport à T et à ^j il suffira de former le coefficient .de rfcp, d'oii l'on conclura celui de d^. On pourrait donner à la fonction O d'autres formes : il convient seulement d'en choisir une qui mette en évidence la propriété de cette fonction d'être symétrique par rapport aux deux variables 9, <^. L'équation (4) se réduit à
cfip d^ d<f d^
d'où, en intégrant,
F(c,<p) H- F(c,i|;) = const.
Pour déterminer la constante arbitraire que cette intégration a introduite, on fait dans l'équation (1) ^i^=o, ce qui donne <p=(x.; et comme F (c, o)=o, il en résulte entre les variables <f, ^ et la constante (i., déjà liées par l'équation (i), et assujetties à former les trois cotés d'un
54 LIVRE V. ' — t CHAPITRE IV.
triangle sphérique dans lequel l'angle opposé au côté constant est aussi constant , cette autre équation
F(c,<f)^¥(t:,^)=:¥{c,iL). ■ (5)
Donc, si Ton a les valeurs de la fonction elliptique de première espèce pour deux amplitudes f, ^, on obtiendra par l'addition de ces valeurs celle de la fonction dé même espèce pour une amplitude (i., [t étant déterminé en fonction de 9, ^ par l'équation (i),ou par l'équation (3) qui en est une transformation.
