Posons
Afin d'exprimer que cp est l'amplitude pour laquelle la fonction F a la valeur w, nous écrirons avec M. Jacobi
(p=am u'y de sorte que les lettres am, initiales du mot amplitude, désigneront la fonction inverse de celle à laquelle a été affectée la caractéristique F.
On écrira aussi d'après cette convention
^ = am p,
A9 = Aamtt, At{;=»Aam^;
et en conséquence la combinaison des équations (3) et
(5) donnera
sinam(M+^)
sin am m.cos am p. Aam u + sin am ç, cos am u. Aarog /^\
I — c* sin* am u . sin^am ^ Lorsque le module c se réduit à zéro, l'équation precC' dente se change dans la formule
sin {u+u)= sin u cos 1^ + sin if cos u. On trouverait de même :
sin am(« — i^) sin am u . cos am i^ « Aam p — sin am </ . cos am u . Aanatf ^ ' I — c* sin'amu.sin^am i'
CCS ani(tt d= v)
CCS am If • ces am (^.zp sin am if . sin am (/. Aam u. Aam v ^
I — c* sin* amtt.sin' am i/ '
et en général, toutes les formules dont les analystes font un si fréquent usage pour la transformation des fonctions trigonométriques, ont leurs analogues pour la transformation des fonctions elliptiques inverses de première espèce, ou plutôt peuvent être considérées comme des cas particuliers des formules elliptiques, dans lesquelles on suppose le module nul, ce qui entraîne amu=:tt, Âamii = i.
Le développement de ces curieuses analogies a fait l'objet des beaux travaux d'Abel et de M. Jacobi , accueillis dans le monde savant avec un intérêt que la jeunesse des deux émules, la mort prématurée de l'un d'eux rendaient encore plus vif. La sagacité de ces géomètres s'est appliquée surtout à suivre dans leur extension aux fonctions elliptiques inverses, les relations remarquables par lesquelles l'analyse des sections angulaires se rattache à la théorie des nombres et à la haute algèbre [79].
330. La fonction sin u et toutes les autres fonctions trigonométriques qui en dérivent, sont périodiques pour les valeurs réelles de la variable u : elles cessent de l'être si l'on fait passer la variable indépendante par une suite de valeurs imaginaires a i/^ZT, puisqu'elles se changent alors en fonctions exponentielles. L'inverse a lieu pour la fonction exponentielle e^. La fonction sin am u jouit de la propriété de rester périodique, soit qu'on fasse passer la variable u par une suite de valeurs réelles ou par une suite de valeurs imaginaires ; de sorte qu'elle cumule le principal attribut des fonctions trigonométriques ordinaires avec celui des fonctions exponentielles.
Désignons par ixil^ valeur de u qui correspond à l'amplitude cp = |ir, ou la valeur de la fonction complète F (c) : on aura [3^7]
sin am 1/ = sin am (if + 2x;j) = sin am (tt + 4x1^) =sinam(a+2rd),
i désignant un nombre entier quelconque. Ainsi, en premier lieu , la fonction sin am u est périodique pour les valeurs réelles de u.
Faisons maintenant
sin 9=: ï/'HI.tangO, c'*= i — c% ce qui donne
cos>==i+tang»e=-L.
cos"
cos <p cos* 0 cos 0
dt» ^ di
et posons
F(c',e)==«, F(c,<f)=u)^zrr,
il en résultera (en mettant le module entre parenthèses^ à la suite du signe sin am^ pour distinguer les amplitudes qui se rapportent à des modules différents) : sin 6 = sin am(tt^c') , tangO =. tang am(ttyc') , sin <p = sin am(iiv/IIi,cî), et par conséquent
sinam(Ml/III,c)= l/~ . tangam(tt,c').
Désignons par ^ x:^' la valeur de la fonction complète F(c) : nous aurons
tang am(M,c') = tiang am(M + 2xS',c') = tang ani(tt + 4^Sc') =tangam(M -f 2e'xS',c'),
THlèORlK DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 57
i' étant un nombre entier quelconque, et par suite
sin am(Mï/3i) = sin ani[(if + at'tiiJ') v/HT], les amplitudes, dans cette dernière formule, se rapportant au module c. Donc
sin am(2i'tJ'l/II7) = sin am(o) = i , cosam(2/'t;j'V^— i) = cos am(o) = i , A am(ai'trf'l/^)=i. En vertu de ces dernières relations, si Ton fait dans la formule (a) ^^nzanrf'J/mï, elle donnera
sin am(u + aftS' V/^) = sin am u.
Mais nous avons déjà trouvé
sin am(K + oiivi) = sin am u; donc
sin am w = sin am(a + 2rci + ai'trf'l/Hï); et cette dernière formule exprime la double périodicité <]u'il s'agissait d'établir : Tune des périodes ayant un argument réel, et l'autre un argument imaginaire.
331. Il est aisé devoir, d'après ce qui précède, comment on pourrait construire, pour une valeur donnée du module^ entre les limites d'amplitude o et -^ 'tt, une table des valeurs de la fonction F, ou (ce qui serait en* core plus simple) une table des valeurs de la fonction inverse sin am Uy entre les limites ££=o, 11=2 { -d. Faisons dans la formule (a^ if=Buy et supposons 8u assez petit pour qu'on puisse prendre sans erreur sensible sin am 8u = sin 8u = ja, cosam 8u = cos^i^ = i , A(Jtt) = i : cette formule donnera
sin am(tf + ^u) = sin am « + ^u.cosamtt.Aam k. En faisant successivement, dans cette dernière équation^
u = ^i/, u = 2ja, u = 3^a, etc. on aura les valeurs de la fonction sin am u pour une suite de valeurs équidifférentes de w, dont la différence est ^u. Ce procédé comporterait des simplifications
et des vérifications analogues à celles qu'on indique pour le calcul des tables trigonométriques ordinaires. D'ailleurs on renverserait sans difficulté la table des valeurs de la fonction sin am u^ pour former celle des valeurs de la fonction i/=F {Cy (p), qui est plus spécialement appropriée aux besoiqs du calcul intégral.
332. Il s'agit de montrer maintenant comment on peut calculer directement la fonction F (c, «p) pour chaque valeur du module et de l'amplitude, sans être obligé de construire une table spéciale pour chaque module, en répétant le système d'opérations indiqué dans le n° précédent. Désignons donc par c, c, des modules quelconques , et proposons-nous de déterminer un coefficient constant ^^ de manière qu'on ait
F(c,(p) = *F(c„(pO, ou
\ri — c« sin» 9 V^ 1 — c,* sin» ç,
Il y a uùe infinité de manières de satisfaire à cette équation, en assignant des relations convenables entré les modules c, c, et entre les variables 9, ç,- Sans traiter le problème par des méthodes directes qui exigeraient de trop longs développements, admettons que l'on fasse
sin*<p(ï — Ci* sin*(px)=A:"sin*<p,(i — sin'<p,), (7) ce qui donne par la différentiation
sincpx cos(p,âKpi cos
sin (p(i — c^ sin* (p,) c* sin* <p + **(i — 2 sin* cp,) Mettons dans le premier membre la valeur de sin <p et dans le second celle de sin <p, , l'une et l'autre tirées de l'équation (7) : nous aurons
rfp, cos <p</y
A'I/'c— ci>6m»(p, K/ik-^-ct^ sin» 9)»— 4^» sin» <p
équation dont la comparaison avec l'équation (6) donne
«tp rfcp
A* COS 91/1 — c»»iii»ç V^{k* + c,» MQ» 9)»— 4A» an» 9 OU
^*(i — sin* cp) (i — c» sin* <p) = (4* + c,> sin* <p)' - 4** sîn» «p ; et pour que celle-ci soit identique par rapport à <p , il faut qu'on ait
c/ = *^c% 4 - ac.» = h{c* + i), d'où Ton tire
Substituons dans l'équation (7) ces valeurs de Ct, k^
et elle donnera
sin (a(p, — <p) = c sin (p.
333. La valeur de c, ainsi déterminée est toujours plus grande que c. D'après cela, imaginons que l'on calcule une suite, ou, comme on dit, une échelle de modules c,, c,, 6*3,. . • liés entre eux et au module primitif c par les équations
c- = » <7, = , C3 = , etc. io)
jusqu'à ce qu'on arrive à une valeur c, peu différente de l'unité ; et que l'on détermine en outre une série d'ampli-* tudes ?,,?,, ?3,. ... au moyen des équations sin (29,— <p ) = c sin <p,
sin(2<p,-(p,) = c,sin(p„ ( {c)
sin(293-<p,) = c.sin(p„ etc. :
on aura aussi
F(o.^,=i±î-.Ffe,.)=(l±î=)(l±S)(i±£).rM,
etc.
Mais lorsque , dans l'échelle des modules , on sera arrivé à un terme c^ peu différent de l'unité (et il suffira ordinairement de calculer un petit nombre de termes) ^ on
ou
Rien n'empêche de prolonger la série (b) en arrière de c par une suite de termes c«,, c, c 3,. . .dérivant les uns des autres selon la^même loi , en sorte qu'on ait
.=^iS, .-, = ^^^^, ...=:^^^^, etc. (*')
sin(2(p — <p-.,) = c tsincp«,,
sin (a<p«x-<p-a) = €?, sin <p.„
etc.
On tombera bientôt sur un terme c.„ très-peu différent de zéro, et alors on aura sensiblement
d'où
F(c.„,^.„)=y^^-"rf^=<p,
F(c,^) z= -— . . . ^^, (rf)
On choisira entre les formules (d) et (d^) celle qui conduira le plus rapidement à la valeur de F(c, ^). C'est ainsi qu'ont pu être calculées les tables données par Legendre dans son grand ouvrage sur les fonctions elliptiques.
Quand on prend <P=z i-ir, les équations (c') donnent
Donc si Ton désigne par K la limite vers laquelle converge le produit
composé d'un nombre infini de facteurs qui vont en convergeant vers l'unité, la valeur de la fonction complète
F(c)estK^.
