Passons à la fonction elliptique de seconde espèce
Si Ton désigne toujours par <p, "^ deux angles assujettis à vérifier l'équation (i) du n** 828, et par conséquent l'équation différentielle
on a
=c*(sin* ^ — sin* ç) ~
Or l'équation ( i ) donne
A(i.€/.sin<psin^=:sin«pco8t|»âKp + sin ij/COS(p d^j et en substituant pour d^ sa valeur tirée de l'équation (8),
Âp. • ^. sin <p sin ^ = (sin ç cos i|;A<p — sin ^ cos <p A^j;) -p» (9)
On a d'ailleurs, en vertu des équations (a) et (3),
sin (A sin y cos ^Ay + sin ^ cos <pA(p ^ . .
Ajt AçA^j;— e*sin«psin^j/cos<pcos4*' et de la combinaison des équations (9) et (10) on tire aisément
sin (A rf.sin <p sin <j;= (sin* 9 — sin'ij;) -—• (i i)
Donc
d, E(c,(p) -h d. E(c,^) = — o' sin {A ^. sin cp sin ^, E(cr,(p) + E(c;^) = const. — c» sin [x sin ^ sin ^, et en déterminant la constante arbitraire de manière! qu'on ait à la fois ^=o, f = [Xy
E(c,(p) + E(c,ij^) = E(c^(a) — c* sin (x sin cp sin tj». (i a)
En comparant cette formule à Tëquation (5) qui en est l'analogue pour la fonction F, on voit pourquoi les géomètres qui ont traité des fonctions elliptiques ont mis au premier rang la fonction F comme plus simple; quoique, d'après l'aqalogie géométrique, la fonction E, qui mesure un arc d'ellipse , semblât devoir venir immédiatement après les arcs de cercle.
335. Considérons maintenant, comme dans le n"" 332^ un module c^ et une amplitude <Pj , liés à c et à <p par les équations
c, = j^~ , sin (2<p, - <p) = c sin (p. ( 1 3)
On tirera de celle-ci par la différentiation
, , c cos cp + cos fa©, — ©)
d(^^z=d^. î — '. — LJlL—iy,
^ a cos (aç, — (p)
ou bien en remplaçant cos (a(p, — (p) par sa valeur Acp, tirée de la seconde équation (i3),
, d(f ccosy + Ay
Mais l'équation (6) donne
, dm \/i — ciasmao
DU , en remettant pour k sa valeur.
Comme les équations (i4) et (i5) doivent s'accorder, il faut qu'on ait
(l+c)V^i — c,»«n*<p, = CCOS <p + Aç. (l6)
Multiplions les équations (i4) et (i6) membre à membre, et il viendra
, . V . , eu (cco8»-4-Aç)*
a V^ 1 — c» 5În» ç
d'où, en intégrant,
(i + c)E(c„9.) = E(c,(p) — i^' . F(c,ç) + c sin ç. (17)
Nous n'ajoutons pas de constante arbitraire, parce que tous les termes de cette équation s'évanouissent séparément pour ç=o.
En vertu de la formule (17), la fonction E (c,,(p,) est donnée par deux fonctions elliptiques, l'une de première, l'autre de seconde espèce, ayant chacune même module et même amplitude; et réciproquement la fonction de première espèce est donnée par deux fonctions de seconde espèce , qui difierent de module et d'amplitude.
Si l'on prend 1^ = ^, on aura <y, = |iu, E(c,iu) = aE(c,7 ir) = aE(c), F(c,ir) = aF(c,iiu) = aF(c),
et la formule (17) donnera cette relation entre lesfonc-' lions complètes
(i + c)E(cO= aE(c)-(i - c«)F(r). (18)
336. En suivant l'échelle des modules et des ampli^ tudes dont la loi a été donnée dans le n"" 333 , on trouve
(i-hr^OEM.) = E(c„(p,)— ^^^.F(c„(pO + CxSin(p„(i9)
64 LIVIUE V. CHAPITRE IV.
On peut éliminer F(c,<p) , F (c„<p,) entre les équations ( 1 7), (19) et (iio), puis substituer pour c. sa valeur en c, et il vient définitivement
E(c„)=(£±iigr:flE(o,^,)-(^.E(.„^)
— c$m<p-| .sm(p,. (21)
Comme le même calcul peut être indéfiniment répété, en suivant l'échelle ascendante ou descendante des modules, on ramènera toujours la fonction £(c^<p) à dépendre de deux fonctions de même espèce, pour lesquelles le module aura une valeur très-peu différente de zéro ou de Tunité. Or , quand le module c, est très-peu différent de zéro ou de l'unité, on a, sans erreur sensible,
OU bien
F(^n>?»)= / "cos ?-^ = sîn (p..
337. Nous ne donnerons qu'un théorème concernant les fonctions elliptiques de troisième espèce, et ce sera l'analogue de ceux qui se trouvent exprimés par les formules (5) et (la), relatives aux fonctions de première et de seconde espèce. En désignant toujours par(p,^ deux amplitudes variables, assujetties à vérifier les équations
(i), (3), (8), on a
, , . , i , . d^ sin (b — sin 9
*v 7 7jy xiv y .T/ ^jp (i-|-asm*<p)(i-hasm*y)
ou bien, en vertu de l'équatiou (11), ,«/ N inr/ IN . rf.sinçsinJ/ , .
Si l'on pose
THÉORIE D£S FONCTIOITS EUJPTIQtJES. 65
sîn f sin ^ = a, sin* ^ -+- sin" ^ = p,
le second membre de réquation précédente devient
da
On tire de l'équation (i)
cos' 9 co8*^ =005^(1. — a cos |j,A(Asin ^ sin ^
-h (i — c* sin* (t) sin" ^ sin* ^ ; et comme
cos*<pcos'ij^=: I — (sin*cp+sin*tj^)+sin*9sin*ij^= i — P +«%
il vient
I — P + a*= cos' jx — aa cos }/^ + a*(i — c' sin* |a),
d'où
P = sin* |x + aot cos (lAfJi + a*c* sin" {&,
et par suite
da, da
en posant, pour abréger,
1 4- « sin* jx=/>, a cos |xA|a = y, oc^ sin* j* + a*=: r. Si donc l'on représente par 4» (a) l'intégrale
p + 2qa 4- m*
qui s'exprime toujours par logarithmes ou par arcs de cercle, l'équation (a a) donnera
n(c,a,ç) + n(c>û,tj;) = const. — a sin (a . ^sin cp sin ^j;). Mais, pour + = o,'on a ? = (jt,, n(c,a,^')=o, ^(o)=o; donc
n(c,a,<p) + ïl(c^y^) = II(c,a,fA) — /z sin (A . *(sin <p sin ^).
