QUADRATURE DES COURBES PLANES

rx a 2

Ainsi l'aire du triangle parabolique Omp {fig. 78) est les deux ti^s de celle du rectai^gle Opmq construit s\ir l'ordonnée et sur l'abscisse du point m. Cette proposition, découverte p^r Ârchimède, est l'objet d'un opuscule de ce grand géomètre , où il applique à deux tours de démonstration fort singuliers, l'un fondé sur des principes de statique dont lui-même était l'inventeur, l'autre sur la sommation d'une progression géométrique décroissante, la méthode de réduction \l l'absurde , qui seule pouvait, aux yeux des anciens, établir rigoureusement le passage du fini à l'infiniment petit [49].

En prenant pour l'équation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes

Faire du trapèze elliptique OpmB {Jig. 77), dont l'un des côtés est Tabsçisse Op=ix^ a pour valeur

l/tf» — x**dx*

On pourrait en conclure de suite^ ainsi qu'of) le fait dans les traités élémentaires des sections coniques, le rapport du trapèze elliptique Ç^mR au trapèze circulaire OpnCj pris dans le cercle concentrique à l'ellipse et dont le rayon est a (*). Pour arriver au même résultat en appliquant les règles ordinaires de l'intégration, on fera

Q) Ârchimède connaissait ceUe manière de ramener la quadrature de l'ellipse à celle du cercle , mais elle lui paraissait dépendre de lemmes difficiles à accorder (lettre à Dosith^e y servant de préface au Traite de la quadrature de la parabole). Les lemmes dont il 9'âgit ne peuvent être que les principes de la méthode des limites.

d'où

Ka»-- «»=««?, OU ^ — — 77^'

=--te* arc tanff t+const,

1 , ^ I . /»/ a»— arA .

== -orV^a»— «» — avarie tang[ — 1 +e€msi^

et par suite

==-xl/^«a — ^a?»H — «"arcsin-;

ce qui donne enfin

bx ^^ «6 , X ocy ab . j?

u = — i/^a*— va:» H arc sm - = -=^ H arc sm —

On en conclut que — j- est l'aire du quadrant elliptique

OAwB, et que ic ah est l'aire de l'ellipse entière.

Comme ^ est Taire du triangle Ompy celle du secteur elliptique BOw a pour valeur — sin - .