QUADRATURE I>ES COURBES PLANES

ce qui équivaut à

en oomprenant dans la constante arbitraire le terme

En conséquence, on trouve pour la valeur de Taire hyperbolique Apm (^. 84) '

b /* . , bx . ab. /a?+l/^«»— o^A

aja aa a "^^V, a /

secteur 0/7tA:=: — log ( - "*" ï ) '

ce qui entraine comme conséquence que l'aire comprise entre l'hyperbole et ses asymptotes est infinie.

L'aire de l'hyperbole dépend d'une fonction logarithmique, de même que l'aire de l'ellipse dépend d'une fonction circulaire. L'analogie géométrique de l'ellipse et de l'hyperbole correspond à l'analogie des fonctions trigonométriques et exponentielles, et de leurs inverses , les arcs de cercle et les logarithmes»

L'équation de l'hyperbole équilatère, rapportée à ses asymptotes, étant

l'aire de l'espace asymptotique compris entre les ordonnées qui répondent aux abscisses ^o,^, a pour valeur

et si l'on prend ac=|/a, ^o==^> *I vient simplement

a=log X. Ainsi les logarithmes népérieas peuTent être considérés comme donnés par les aires d'une hyperbole équilatère. C'est pour ce motif qu^on les a longtemps désignés par la dénomination de logarithmes hyperboliques; mais cette dénomination était mal choisie, puisc{ue, si Ton donne à la constante a une valeuft* convenable, la fonction Uj déterminée par Técjiiation (i), reprétôntera également bien tout autre système de logarithmes. On sait en effet [64] que les logarithmes à base quelconque se déduisent des logarithmes népériens quand on multiplie ceux-ci par un module constant pour chaque base.

L'équation (i) cesse d'avoir lieu, ainsi qu'on l'a expliqué [99], quand la valeur x=Oy qui rend infini le coefficient de dx sous le signe fj tombe entre les limites de l'intégratiou. TLn conséquence, on ne peut exprimer par cette formule l'aire qui serait limitée par deux ordonnées de signes contraires, appartenant à deux branches de la courbe.

On peut toujours passer, par des additions ou des soustractions de polygones rectilignes, de l'aire d'une courbe rapportée à un système de coordonnées rectiligties, obliques ou rectangulaires, à l'aire de cette courbe prise dans un autre système de coordonnées rectilignes. Telle çst la raison pour laquelle la fonction logarithmique, qui s'offre immédiatement dans le calcul de l'aire de l'faypeiHbole rapportée à ses asymptotes, reparaît à la suite de diverses transformations, quand on rapporte l'hyperbole à ses axes.

340. En mettant l'équation de la logarithmique sous la forme ./=^, on aura

u rrl e'dx = e* — i ,

QUA0iL4Tl7BE DBS COURBES PLAITES. 71

valeur qui se réduit à — i quand on fait 3C=i — ao . Ainsi l'aire de l'espace compris entre IWdonnée OB {fig. 79), la courbe BM' prolongée à Tinfini du coté des abscisses négatives, et l'asymptote OX', aussi prolongée à l'infini, a une valeur finie, égale au carré construit sur la droite OB.

La cycloïde .étant donnée, comme dans le n*" 176, par le système des deux équations.

X = R(f — sin 9) , ^= R(i — cos cp), on aura

u =1 ydx-si R* / ^ (i — ces <y)*rf<p

= R'd (p — a sin 9 + j sin 29).

On prendra pour la limite supérieure de l'intégrale çc=5iir, afin d'avoir l'aire comprise entre un arceau et la base de la cycloïde, ce qui donnera a=3irR*, c'est-àdire le triple de l'aire du cercle générateur. La formule qui précède s'étend d'elle-même à des valeurs quelconques de <p et à la quadrature d'un nombre quelconque d'arceaux.

341. L'aire limitée par une courbe plane fermée est une quantité indépendante du système des coordonnées auxquelles on rapporte la courbe; et cette aire, que nous désignerons par U, est ordinairement celle que l'on se propose de déterminer dans un problème de quadrature. Si la courbe est algébrique, son équation F(^,^)=o donne au moins deux racines ^=f,j:,^=f,j:, correspondant à la même abscisse, et dans ce cas on a

U =jf \iiX — f^Ddx=l ' fjxdx — / ' Uxdx :

t^x désignant l'ordonnée de l'arc m^rii m^ (Jig.%o\î^x celle de l'arc nto rio m^^ x^ et Xi, les abscisses des droites

72 LIVRje V. CSAJPITRE V.

m^p^^tm^p^ qui limitent la courbe parallèlement à l'axe des j. Les arcs/T^o^z ^x^ ^o ^o f^i pourraient d'ailleurs appartenir à des courbes algébriques différentes, ou à des courbes non algébriques, et éprouver dans leur cours des solutions de continuité du second ordre ou des ordres supérieurs. L'intégrale U se décomposerait sans difficulté en un plus grand nombre d'intégrales partielles, si la courbe fermée affectait des sinuosités, comme celles qui sont indiquées sur la^^. 8i.

L'aire d'une courbe, telle qu'on la définit dans le système des coordonnées polaires [i8o], ayant pour différentielle

sera donnée par la formule

dans laquelle il faudra substituer pour r* sa valeur en fonction de ^ donnée par l'équation polaire. Si la courbe est fermée et comprend dans son intérieur l'origine des rayons vecteurs^ de manière que, pour chaque valeur de (p comprise entre o et aiu, r* ait une valeur réelle et unique, il vient

r'dff.

Jjdi courbe> étant toujours fermée, et le pôle se trouvant dans l'intérieur de la courbe, il peut se faire, si elle offre des sinuosités, que, pour les valeurs de ^ comprises entre de certaines limites, /^ ait 3 ou 5, ou en général un nombre impair de racines réelles. Au contraire, si le pôle se trouvait hors de l'enceinte formée par la courbe, r* aurait toujours un nombre pair de racines réelles. Dans toutes ces circonstances qu'il suffit d'indiquer, l'in-.