RECTIFICATION DES COURBES

tégrale U se décompose en diverses intégrales partielles, ayant chacune des limites particulières.

% a. Rectification des courbes.

342. Le problème de la rectification des courbes est une application importante du calcul intégral, au sujet de laquelle nous croyons devoir entrer dans quelques éclaircissements que l'on néglige pour l'ordinaire.

ËQ désignant par s la longueur de l'arc d'une courbe plane, dont x et/x sont les coordonnées rectangulaires, on a [174]

ds = V/^x -+-(/'«)». ^, et par conséquent,

x^ étant l'abscisse du point de la courbe, à partir duquel farcest mesuré.

Four que le coefficient de dx sous le signe / devienne iafini, il faut et il suffit quef'x passe aussi par l'infini; mais dans ce cas même la formule (s) ne devient pas illusoire, si Jx conserve une valeur finie. Soit en effet i la valeur de x qui venàj^x infinie : d'après ce qu'on a vu [3àa],^ conservera néanmoins une limite finie, si le produit (j:-*- Ç )f'^ converge vers une valeur finie ou vers zéro, pendant que x s'approcbe de plus en plus de la valeur ^. Or cette limite est la même que celle du produit

€t par conséquent, dans le cas oîi l'ordonnée de la courbe conserve une valeur finie, quoique la tangente soit perpendiculaire à l'axe des x^ la formule (j) ne tombe pas en défaut.

74 UVRE V. CHAPITRC V.

Elle tomberait en défaut, mais d'une autre manière, si fx et f*x devenaient imaginaires pour certaines valeurs de X et que cependant le radical |/i+(/'4:)» restât réel. Si par exemple on avait

ou bien [339]

Jx -=1 - x\/l^irzi log(^+ l/iTZT) + tfo/wf. ,

la formule (^) donnerait

5=/ xéLT^zzi-ix" — a:*,);

et la valeur de s demeurerait réelle, même pour des valeurs de X numériquement plus petites que l'unité, qui rendent y j; et^r imaginaires.