Le radical

doit en général être pris avec le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, afin que, si la valeur de Tare est positive quand il se termine à des points situés au delà de celui que l'on prend pour origine des arcs, elle soit négative quand l'arc se termine à des points situés en deçà de l'origine, ou réciproquement. En conséquence, lorsque l'intégrale pourra s'obtenir sous formé finie, le radical R qui se retrouvera dans l'intégrale [agg], ne devra pas y être censé affecté du double signe; au contraire^ les radicaux qui pourraient se trouver dans {f'xYj et qui proviendraient de la multiplicité des branches de la courbe, devraient être affectés dans l'intégrale d'un double signe, afin que l'expression de l'arc de. la courbe eût toute la généralité qu'elle comporte, et qu'elle s'appliquât, non-seulement à une branche de la courbe, mais à toutes les branches.

RECTIfICATION DES COURfiSS. 75

Remarquons maintenant que si la courbe avait deux branches symétriques par rapport à une droite parallèle à l'axe des x^f'x aurait bien deux valeurs numériquement égales et opposées de signes; mais le carré {f^xy^ qui entre dans l'intégrale {s\ n'aurait plus qu'une seule valeur. Dans ce cas, si les'deux branches se raccordaient en un point m© {Jig. 82) pris pour origine des arcs, il faudrait prendre le radical R avec le double signe, afin qu'à une même abscisse Op^=ix pussent correspondre deux arcs m^jrij m^ ni^ l'un positif, l'autre négatif.

Si au contraire les deux branches qui se raccordent au point rrio {fig- 83) n'étaient pas symétriques par rapport à une droite parallèle à l'arc des a:, la quantité [fxy renfermerait un radical p : il faudrait combiner dans l'intégrale le signe -|- du radical R avec le signe du radical p qui appartient à la branche m^ m, et le signe — du radical R avec le signe du radical p qui appartient à la branche 772o/;z'; toutes les autres combinaisons entre les signes de ces radicaux devraient être rejetées comme étrangères.

On voit donc que, suivant les cas, il faudra, pour faire eadrer les formules, analytiques avec les formes des courbes à rectifier, -tantôt donner aux formules toute l'extension qu'elles comportent algébriquement, et d'autres fois en restreindre la généralité algébrique.

344. ÂppHquons d'abord la formule de rectification à la parabole ordinaire, dont nous mettrons l'équation sous la forme

Ëa plaçant l'origine des arcs au sommet de la parabole, nous aurons

76 LIVHS V. CHiLPlTBS V.

l^i -Hm»«» . dx =: - X\/\ 4-iii>a;>

H log(lîM? + l/i-f.m»«»). (a)

Il est aisé de voir que cette expression change de signe en conservant la même valeur numérique, lorsqu'on change x en -^ — x\ ce qui s'accorde avec la situation de la parabole par rapport aux axes. D'ailleurs on ne peut prendre négativement le radical \/T\nëô^ , puisqu'on tomberait sur un logarithme imaginaire.

Considérons maintenant la parabole de Neil [197] , en dopnant à l'équation de cette courbe la forme

et prenons pour origine des arcs l'origine des coordonnées où la courbe subît un rebroussement de première espèce {Jig. 53). La formule {s) donnera

Cette formule tombe dans le cas de défaut que nous avons signalé [34^] "* elle devrait donner pour s des valeurs imaginaires, dès que x prend des valeurs négatives, tandis qu'elle attribue à s une valeur réelle, tant que X reste compris entre o et — \m.

On sait que la parabole de Neil est la développée d'une parabole ordinaire [197] : il résulte de la théorie des développées des courbes planes, que l'on peut toujours assigner algébriquement la différence des rayons osculateurs d'une courbe algébrique en deux points différents (^ox^o) 1 (^i?Xi) , ou , ce qui est la même chose [191], la longueur de l'arc de la développée de cette courbe , compris entre les points (Ço^^o), (Çi>»i)i qui sont les centres de courbure de la développante , correspondant