RECTIFICATION DES COURBES
respectivement aux points (j^o^^o), ip^iiy^' D'autre part les coordonnées Ço>>îo ; 5x?^i peuvent toujours s'exprimer algébriquement en fonction de ^otT*©} «a;,^, , et réciproquement. Par conséquent, toutes les courbes qui sont les développées de courbes algébriques doivent être recti*fiables comme la parabole de Neil ; c'est-à-dire que l'on peut exprimer la longueur de l'arc en fonction algébrique des coordonnées des points extrêmes.
La portion de l'axe des Xy dont les points extrêmes ont pour abscisses a;=o, ^= — ^rriy et dans l'étendue duquel la formule (3) tombe en défaut , est le rayon de courbure du sommet de la parabole développante.
*345. On applique immédiatement à la comparaison des arcs d'ellipse tout ce qui a été dit dans le dernier chapitre des propriétés de la fonction elliptique de seconde espèce. Ainsi l'équation (la) du n** 334 établit une relation linéaire entre les longueurs de trois arcs pris sur la même ellipse, et dont les amplitudes mesurent les trois côtés d'un certain triangle sphérique. En vertu de la formule (ai), la rectification d'une ellipse quelconque se ramène à la rectification d'une ellipse très^ excentrique, dont les arcs se confondraient sensiblement avec des portions de ligne droite , ou inversement à la rectification d'une ellipse très-peu excentrique dont les arcs se confondraient sensiblement avec des arcs de cercle.
L'équation de l'hyperbole rapportée à son centre et à ses arcs étant
SI nous posons
a»+*»~^ sin<p'
la longueur de l'arc, mesuré à partir do sommet de l'une des branches de ta courbe , est
cj a ^ a?* — «• c/, ^sm*<p
Mais rintégration par parties donoe
y' . do .^ r ces* 0^9
^ sm'(p ^ ^ y\/i— C»«n»ç
et Ton a d'autre part identiquement
En conséquence
5===^rcot^v/r:ï5s;+E(c,9)-E(cHï--^^
en sorte que Tare d'hyperbole s'exprime au moyen de deux fonctions elliptiques de première et de seconde es-
On peut chasser les fonctions F(c,?), F(c) au moyen des équations- ( 1 7) et (18) du n® 335 , ce qui donne :
— = cot <p . v/i— c»«m>ç — acsin 9 + E(c) — E(c,<p) -h a(i + c) E(^.,<pO — (i + c)E(c,).
Ainsi la rectification de l'hyperbole est ramenée à dépendre de celle de deux ellipses d'exoeutricités différentes, théorème dont on doit la découverte à Landen. Pour trouver ce que représente dans ce cas l'amplitude 9, décrivons un cercle du point O comme centre, et du ^j^^ demi-arc OA comme rayon {fig. 84); du point m, dont
l'abscisse est x , abaissons l'ordonnée mp , et par le pied p menons une droite qui touchera le cercle en ^ : on a
cosrtDjp sinBOr'
et par conséquent angle BOf=:?.
RBCTIFICATION DES COURBES. 79
Si Ton prolonge Tordonnée/^m jusqu'à la rencontre de l'asymptote en /^, et qu'on appelle r la longueur On , il viendra
cr c csm<p'
OU
^ f \ I — CCS ? \/\ — c» «n» © . «, V «^ ^
â^''- ') = kr^ ?+acsin^-E(c) +E(^,<p)
Si l'on fait dans cette expression <p=o, ce qui correspond à x=LO, on a
ttn<p = o, E(c,(p) = o, ?, = o, E(c„'p,)==o; quant au terme
I — COS ^ V/i — csflm*9 sinç '
il se présente sous la forme \^ et* se réduit à zéro d'après la règle connue : donc on a dans ce cas
En d'autres termes y lorsque les longueurs km^ On vont en croissant indéfiniment, la différence" 0/ï — Am converge vers la limite
*346. On a trouvé [f 80] pour la diflerentielle d'uo arc de courbe plané, en coordonnées polaires,
d^où Ton tire
s=l V^^.rf?, ou s = l V^ù^.dr,
selon qu'on veut éliminer la variable r ou la variable^<{^^ au moyen de l'équation polaire de la courbe. Par exemple, l'équation de la lemniscate [ai 3]
80 UVBB V. -— CHAPITRE V.
devient en coordonnées polaires
r" = ^i*(co8'<p — » sin'ç) ; ce qjui donne , quand on prend pour origine des arcs le point A (^. 60), où la lemniscate coupe l'axe des x^
a Jo
Posons
sin9=— Ts.sinH/.
cette expression deviendra
En conséquence, les propriétés de la fonction elliptique de première espèce peuvent se traduire en propriétés de la lemniscate 9 qui sous ce rapport ofFre des analogies très^curieuses avec le cercle. Le géomètre Fagnani est le premier qui ait étudié la lemniscate sous ce point de viie, et ses recherches ont été Torigine de la théorie des fonctions elliptiques.
Il faut remarquer que les équations (4) ou (5) ne donnent les valeurs de s que pour les valeurs de <p comprises entre — -J 17 et 7 ir, ou pour les valeurs de 4^ comprises entre — x^et^tQ^ea sorte qu'elles ne s'étendent pas au delà du point d'inflexion de la lemniscate.
