La cycloïde ayant pour équation différentielle
dx jr '
si l'on compte les arcs de l'origine des coordonnées, on trouve
RECTIFIGiiTION DES GOUHBES. 81
:4R— al/^aR.l/aR-^.
Cette expression de s en fonction de^ tombe visiblement en défaut pour les valeurs négatives de/, puisque les valeurs correspondantes de s^ données par la formule , seraient réellei et négatives , tandis que la courbe ne s'étend point du côté des^ négatifs. Elle ne donne également la valeur de s que pour un seul arceau , et par conséquent n'a pas la généralité que comporte la description géométrique de la courbe! Il faut même, pour que la formule s'étende à un arceau entier , prendre successivement y avec des signes différents, le radical qui entre dans la valeur de s. Toutes ces anomalies s'expliquent à l'aide des remarques faites plus haut [34^ et 343].
Quand on prend ^=aR, ou a pour la longueur d'un demi*arceau s-=.L\^^ ce qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé en cherchant la développée de la cycloïde [198].
L'expression de l'arc de cycloïde affecterait Une forme extrêmement simple, si le point Q {fig. 4^)f sommet d'un arceau , était pris pour origine des arcs et en même temps pour origine des ordonnées^, comptées de Q en S. Ceci revient à écrire 4R — s au lieu de ,$■, et aR — y au lieu de^, d'où
valeur qu'il faudrait prendre avec le double signe, à cause de la symétrie de la courbe par rapport à la droite QS.
L'arc de la spirale logarithmique [181], qui a pour équation polaire r=e'"», sera donné parla formule
formule qui est une conséquence très-simple de la pro-
priété caractéristique de cette spirale, celle de couper tous ses rayons vecteurs sous un angle constant, dont
le cosinus est
348. Soient ^=y2i:, z=£r les équations d'une ligne dans l'espace; et x^ l'abscisse du point de la courbe que l'on prend pour origine des arcs : on a [âa3]
V/i +(/'jrr)» + is'xy . dx. (S)
Il est clair que le radical pourra rester réel , non-seulement dans des cas oxxfx^ tx seraient imaginaires, leurs carrés étant réels, mais encore dans le cas où [fx^y {ï'xy auraient leurs parties imaginaires égales sauf le signe. Alors la formule de rectification des lignes à double courbure tombera en défaut, de même que cela arrive à la formule de rectification des courbes planes.
Pour donner une application de la formule (S) , prenons l'hélice représentée [â34] par le système des trois équations
jr=Rcos(p, 7^=Rsin«p, z = aR<p, qui donnent
cir= — Rsincp^cp, rf^=Rcos<prf<p, rfz=aRrf(p,
et par suite
^, dr ^, dz a ^
•^ dx ^^ dx smcp
s = Rv/T+T^' f ^fiSp=:Ri/^,":î:^.(cp — cpj.
On aurait pu obtenir directement la même expression ^ en considérant que l'hélice se transforme en ligne droite quand on développe la surface cylindrique sur laquelle elle est tracée.
CUBATURE IXËS SOLIDES JDE RtvOhVTlOUf . 83
§ 3. Cubature des solides de révolution.
349. La mesure du volume d'un solide de révolution se ramène facilement aux quadratures ou à l'intégration de fonctions différentielles d'une seule variable. Prenons en eflFet l'axe de révolution pour celui des a:, et soit y=^fx l'ordonnée de la courbe méridienne, i; le volume de la tranche comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe de révolution , ayant respectivement pour abscisses, l'un la constante x^^ l'autre la variable x. L'accroissement Av sera compris entre le cylindre qui a pour volume tc^^Ao;, et celui qui a pour volume T^y-^^yftix^ du moins quand on prendra Ax assez petit pour que l'ordonnée^ soit constamment-croissante ou décroissante dans l'intervalle Ar. Or on a
donc et par suite
lim, —7 7 — rr-r — mz I ;
7r(7-f.A7)'A:F lint. — rr- = i » ou ds^ •= Tzy^dx.
"Mzn'Tr/ ifxfdx.
La formule tombera en défaut dans son application géométrique , si {fxf reste une quantité réelle , quoique fx prenne une valeur imaginaire.
Supposons que la courbe méridienne soit l'ellipse
et posons x^^^^o : il viendra
expression qui reste réelle pour des valeurs quelconques
84 LIVKE V. — CHAPITRE V.
de x^ et positive pour les valeurs de x<ai/z^ tandis que la courbe méridienne ne s'étend pas au delà de l'abs-^^ cisse a. La formule donne ^ab^ pour le volume entier de Tellipsoïde de révolution.
Proposons-nous encore de cuber le solide annulaire 7j engendré par la rotation du cercle MNM'N' {fig. 74) autour de la droite PP^ menée dans le plan de ce cercle et prise pour arc des x. Nous ferons passer Taxe des^ par le centre du cercle dont le rayon sera r, l'ordonnée du centre étant désignée par R , de manière que 7,=R + l/^r» — «»,
soient les ordonnées des demi-circonférences MNM\ MTÏ'M'. Le volume de l'anneau aura pour valeur
Mais on a [338]
/W^r» — «•=:-^\/r«— «•-h-r^.arc sm- + consi.i
donc
</=aic*r'R.
§ 4* Quadrature des surfaçM de révolution.
350. Si l'on inscrit un polygone à la section méridienne d'une surface de révolution, et qu'on fasse tcurner le polygone avec la courbe circonscrite , chaque côté du polygone engendrera la surface développable d'un tronc de cône. Or, l'on entend par aire d'une surface de révolution, la limite dont s'approche la somme des aires de ces troncs de cônes , quand les côtés du j poHgone inscrit décroissent indéfiniment, ou quand le ^\ poligone inscrit appproche de plus en plus de se con-
