QUADRATURE DES SURFACES DE REVOLUTION

fondre avec la courbe. Cette définition est analogue à celle que nous avons donnée de la longueur des lignes oouii)es [174]; ^^ i^ous reviendrons encore sur ce sujet, en parlant, dans le chapitre suivant, de la mesure des aires des surfaces quelconques.

Conservons toutes les notations du n"" précédent , et appelons u Taire de la portion de surface de révolution interceptée entre les deux plans perpendiculaires à l'axe des X. L'aire du tronc de cône engendré par le côté du polygone inscrit qui joint les points (X:{7*)> (•^ + ^> / + i^), est exprimée par

et son rapport à l'accroissement ^:c a pour limite

donc, d'après la définition de la grandeur u,

d'où

Pour certaines valeurs de x , la formule tombera en défaut dans son application géométrique, si la fonction sous le signe /reste réelle, tandis que/c passe par des valeurs imaginaires.

Appliquant cette fonnule à l'ellipsoïde de révolution considéré plus haut, nous aurons

ajo ^ «*

Supposons d'abord l'ellipsoïde allongé ou a> b^ et

posons — ^^^ = c* : il viendra

\ = 7Qb{x\/ I r +- .arcsm— ).

\ ^ a* c aj

On pourrait attribuer à x des valeurs > a et < - ,

sans que rexpi*ession de u cessât d'être réelle , mais on sortirait des conditions géométriques du problème. La formule donne pour Taire totale de Teilipsoîde allongé

^^(i* + — arc sin c),

Arc &1T1 c

Quand ci=o, on a a=:i, ~ = i,et Ton retrouve

l'expression connue de la surface de la sphère.

Supposons en second lieu reliipsoïde aplati ^ ou

la a

a < é, et posons — j- — = c* : on obtiendra

expression qui reste réelle pour des valeurs quelconques de X, et d'où l'on déduit, pour l'aire totale de l'ellipsoïde aplati,

Quand c=o, on trouve que l'expression

a pour valeur a, et l'on retombe encore de cette manière sur l'expression de la surface de la sphère.

La surface annulaire engendrée par la révolution dn nj cercle MNM'N' {^fig- 3^) a pour valeur

aiTi

c'est-à-dire le produit des deux circonférences dont les rayons sont r et R;