Les variables x^,z peuvent être liées par une équation

comme dans les problèmes où il s^agit de lignes assujetties à se trouver sur une surface donnée : il en résulte

PAmCIPES DU CALCUL DES VARIATIONS. 129

dx dy dz

Au moyen de cette équation, on chassera iz de la formule (B); et en prenant la partie sous le signe /^ si Ton égale à zéro, après la substitution , le coefficient de ^j ou celui de ^x indifféremment, on aura l'équation différentielle

d'où l'on pourra chasser z au moyen de l'équation {g).

379. Si le nombre des variables et des équations de condition était plus considérable, on rendrait le calcul d'élimination plus élégant eh employant la méthode des multiplicateurs [i 54]; mais l'emploi de cette méthode mérite surtout d'être remarqué, lorsque les équations de condition renferment non-seulement les variables .r,jr,z,... mais encore leurs dérivées jr',^V- z\z'\... etc.: il s'agit alors de ramener les variations des fonctions dérivées à ne dépendre que des variations des fonctions primitives.

Soit donc

F(^iry.7%- • .^,2',z%. . 0 = 0, (A)

une telle équation : on aura âF=o, et aussi XÂF=o, X désignant un multiplicateur indéterminé; et puisque cette équation doit subsister pour toutes les valeurs de j:^,z,.... comprises entre les limites de l'intégration, on aura encore

r\8Fdx=o; (/)

mais alors >. désigne un facteur susceptible de varier

d'une abscisse à l'autre, ou une fonction inconnue dex.

L'équation (î) est la somme d'une infinité d'équations

'k8Fda:=o, pour chacune desquelles les variables x^jr^Zy.. et le coefficient X auraient en général des valeurs différentes.

Ainsi les valeurs de^,2, en fonction de x qui rendront nulle

J Xo

annuleront aussi

Suivant les règles de l'élimination par la méthode des multiplicateurs , on doit , après l'introduction de l'indéterminée >., traiter jr, -3 comme des fonctions de x, indépendantes l'une de l'autre; de sorte que. si l'on pose

dF =;= %da: +• yrf/ -f- Y^'^df H- y^'Wj" + etc. + zdz + z('W + z(*)rf*" + etc.,

et qu'on égale séparément à zéro les facteurs de fyy^z sous le signe y^ après qu'on aura appliqué à l'intégrale (X*) la méthode ordinaire des variations, il viendra

— etc. H- AZ -j 1 7 etc.=

dx dx"" ' dx rf^»

Les trois équations (A) et (/), étant intégrées simultanément, donneront les valeurs de X^,z eu fonction de x et des constantes arbitraires ; et par l'élimination de \ on pourra obtenir séparément lès valeurs de^,z en fonction de X et des constantes venues à la suite de l'intégration. Les équations aux limites, étant traitées d'une manière analogue, détermineront les valeurs initiales et finales des fonctions ^^7*,^, et de leurs dérivées, et par sufte les constantes arbitraires amenées par l'intégration.

PRINCIPES 9U OAXiCUL DES VARIATIONS. 131

C'est principalement dans les applications du calcul de la variation des intégrales aux problèmes de mécanique oii l'on considère les corps comme des massas continues, que cette théorie des multiplicateurs variables reçoit des applications importantes pour lesquelles on doit surtout consulter la Mécanique analytique de Lagrange. Dans les problèmes de cette nature , la fonction \ n'est plus seulement une variable auxiliaire introduite pour la commodité du calcul : elle désigne une grandeur concrète> dont il est indispensable d'assigner la valeur pour la complète solution du problème.

380. Céci nous mène à exposer la théorie des maxima et minima relatifs. On dit qu'on cherche Un maximum ou nu minimum relatif^ lorsqu'il s'agit de déterminer la

fottCtioii^iî=:? x qui i*end l'intégrale / ' Ydx un muxi-

naun ou un minimum^ avec la condition qu'une autre

intégrale / ' lÂx^ dépendant de la même fonction^,

conserve uiie valeur constante. Telle est en général la question qu'on se propoèe dans les problèmes deà isopé^ rimètres^ qui consistent à déterminer, parmi les courbes de même longueur, ou parmi celles pour lesquelles l'intégrale

\/iJ^y* .dx

conserve une valeur constante, celle dont l'ordonnée^ satisfait à la condition de rendre l'intégrale / Vdx

un m/iximum ou un minimum.

En pareil cas les variations des coordonnées^,^, sont liées par l'équation de condition

81 *Le/jr=o,

et si Ton applique le procédé de rélimination par les miiltiplicateurs indéterminés, on en conclura

jr*'Trfa;+Xîr'''L^=o

(k désignant un coefficient constant), ou

sf''\y+'kL)dj:=o. (m)

Le coefficient X est constant, parce qu'on n a ici qu'une équation de condition qui porte sur la valeur d'une intégrale, et non plus, comme dans le n^ précédent, une infinité d'équations de condition, dont chacune subsiste pour les coordonnées relatives à un élément de l'intégrale. D'ailleurs, il est évident que si / ' Vâir a une

valeur maximum ou minimum^ l'intégrale / ' lÂx étant assujettie à rester constante, la somme

OÙ y, désigne un nombre constant, aura aussi une valeur muximum on minimum, TlOl fonction j^i=<p.r, que l'on déterminera en appliquant à la formule {m) les règles ordinaires du calcul des variations, contient la constante indéterminée >., dont on fixe la valeur par la condition

que l'intégrale / ' Lcfcr, dans laquelle entre jr et par

suite \ ait une valeur constante et donnée.

On peut encore arriver au même résultat de la manière suivante. Posons

yLfltr = z, ou L — — = o: (n)

z sera une fonction de x que l'on pourra considérer comme liée à ^ et à a; au moyen de l'équation (n). Ce sera donc le cas d'appliquer la méthode du n? 379, en traitant (n) comme une équation de condition, ce qui donne

Le terme

J X, dx J X.

donne dans l'intégration par parties