DE LA VARIATION DES INTEGRALES DOUBLES

Posons

ce qui donne dans l'hypothèse des limites constantes où Ton peut [374] considérer comme nulles d'elles-mêmes les variations ^jc eiSj',

^V=Zjz + P^/? + QJjr +Rîr+ Sîs + Tîf ; en sorte que l'équation du problème devient

[Z^z + V^p-hQ^q + Mr+Sès + TSildxdjr^o. (i4)

Il faut considérer à part les termes en ^, ^q, etc., afin de leur faire subir les transformations qui sont de l'essence du calcul des variations.

On a

ffnp.da^y^Jfn^.da:dr=^fP^

= fWy.hz— ff^dxdyM.

Dans cette équation l'intégrale double

§^dxdjr.

est censée prise dans les mêmes limites que l'intégrale double proposée : quant à l'intégrale simple/P^^z, qui est amenée par une première intégration relative à la variable X, il faut , pour en fixer la valeur , concevoir qu'après cette première intégration opérée , on a substitué successivement pour x les valeurs ij;,^, "^^^ [354] t et retranché le second résultat du premier , ce que nous indiquons par la notation abrégée

la seconde intégration relative à / devant d'ailleurs être prise entre les limites J•=Oq^ =/i ,^ = Oq^:=jr^, En conséquence nous écrirons

On trouverait de la même manière

la fonction ^ désignant Tinverse de ^, ainsi qu'on Ta expliqué dans le n"" cité.

Il vient ensuite

En tenant compte des limites des intégrales, nous écrirons , suivant la notation employée ci-dèssus ,

l+oT

^JJlP^'^y-^''

Le même calcul donnera

Enfin, si nous considérons le terme affecté de Ssy nous obtiendrons par un calcul analogue

/«'•--=[/.>H:::-L/rfH:::

On a d'ailleurs

d'où

/ S8p.dx=: I S--7— c/[r=SJz—- / -ydx^z,