DE LA VARIATION DES INTÉGRALES DOUBLES
389. Si l'on réunit ces divers résultats, on mettra l'équation (i4) sous la forme
Le coefficient de ^z , sous les signes de double intégration , doit être nul pour toutes les valeurs de a;,^ comprises entre les limites de l'intégrale double, ce qui donne l'équation aux différences partielles entre x^j-j z,
dx dy dx* dxdy dj^ * ^ ^
Chacune des intégrales simples qui entrent dans l'équation (A) s'étend à tous les éléments de la courbe mjijnji^ (fig. 8o) qui trace sur le plan xy les limites de l'intégrale double. Donc, pour tous les systèmes de valeurs de x^j-j qui correspondent à des points pris sur cette courbe, les variations ^z, &/?, ^q doivent satisfaire aux équations
Enfin il faudra qu'on ait
du <«> ' ^*^
ou bien
(SH.„... - (S^*k„.,„- (SJa),..,^.+ (S5*)xo.to*. = o, {c\
152 LIVRE V. CHAPITKE VIII.
(S^z),^,y^,^ désignant ce que devient &8z pour les valeurs ^=:r„^=:<p,x,, et ainsi desuite.
390. On peut se représenter la variable z comme l'ordonnée d'une surface. Si l'intersection de cette surface avec le cylindre qui se projette en .zj- suivant la ligne mjijnji^ était une courbe donnée de position dans l'espace, la variation ^z serait nulle pour tous les points qui appartiennent à cette ligne d'intersection : par suite l'équation (c) serait satisfaite d'elle-même, et les équations {b) se réduiraient à
RS/? = o, T*y=:o.
Si en outre la nature du problème déterminait la direction du plan tangent à la surface, tout le long de la ligne d'intersection, les variations ^p^ ^q s'évanouiraient, et par suite les équations {b) seraient satisfaites d'ellesmêmes.
Lorsque la ligne d'intersection et la direction du plan tangent le long de cette ligne ne sont point déterminées par les conditions du problème, il faut, pour satisfaire aux équations ( ^ ) 9 égaler séparément à zéro les coefficients de ^z, ^Pj 8q, c'est-à-dire poser ^ dK dS ^ dT dS
et ces dernières équations doivent subsister pour tous les points de la ligne d'intersection dont la projection en xj- est la courbe mjijnji^.
391. Dans le but de montrer une application de cette théorie, supposons que l'on demande la surface assujettie à passer par un contour donné, et dont l'aire, dans la portion circonscrite par ce contour, est un minimum. Cette surface ne serait pleine que si la ligne de contour par laquelle elle doit passer était comprise dans un
DE JjIl TARLàTION DES UTTÉGRAUBS DOUBLES. 153
plan. L'intégrale double qu'il s'agit de rendre un /TtiViimum est [SSg]
JjTs/T+J*^^ . dxify.
€omme les fonctions R, S, T sont nulles, et que la variation 8z s'évanouit aux limites , à cause de l'invariabilité de la ligne de contour , les équations (é) et (c) se trouvent satisfaites : il suffit de déterminer l'ordonnéezen fonction de x^j'j de manière à satisfaire à l'équation (a) qui devient
di ^ ^ — ""'
ou en développant les calculs,
(i + f)r— %pqs + (i +/?•>= o, {d)
équation [281] caractéristique des surfaces pour lesquelles, en tous leurs points , les deux rayons des courbures principales sont égaux en grandeur et opposés en direction. La surface cherchée doit en outre être assujettie à passer par la ligne donnée, qui circonscrit Taire minimum j condition par laquelle il faudrait déterminer les fonctions arbitraires qui entreraient dans l'intégrale de l'équation {d),
La surface décrite par la révolution de la chaînette
autour de l'axe des a:, est (parmi les surfaces de révolution assujetties à passer par deux cercles parallèles donnés) celle dont l'aire a la valeur minimum [384]. Les deux rayons des courbures principales de cette surface de révolution sont : 1*^ le rayon de courbure de la chaînette méridienne; a® la portion de la normale comprise entre la courbe méridienne et l'axe de révolution [^85] ; et en
effet Ton a trouvé [384] <iue ces deux lignes sont égales et opposées de direction.
. 392. Quand on n'admet pas que les limites de l'intégrale double soient fixées invariablement par un contour tracé sur le plan ^, on ne peut plus supposer nulles les variations ^:r, 8/, du moins pour les points situés sur les limites de l'intégrale [374] • On a dans ce cas 8jr^dxdjr =ffdyV8dx -Arf/dx^Uy ^ffVfdxdy =JfdySd8x-^jfdySd8y +f/Vfda:dy
=fY8xdy+fY8yda:+fjfl8y-^8x~fy)dxdy.
Chaque intégrale simple est censée prise le long de la ligne de contour qui limite l'intégrale double , selon les explications données précédemment.
D'après un calcul analogue à celui du n"^ 373 , si l'on . pose pour abréger
èz — p8:r — q8y = Jm, et que l'on conserve aux lettres Z,P, Q,R,S,T leur signification , en omettant , pour plus de simplicité , les termes d'un ordre supérieur au second , on aura
puis
/yy rfp rfo rf-R éfs «ptn . , .
DE LA. VARTATIOU DES UfTiGRALES DOUBLES. 155
U Êiudra donc, pour l'évanouissement de la variation de l'intégrale double :
i"" Que réquation (a) y aux différences partielles entre les variables x^j^j Zj subsiste pour toutes les valeurs de a^yjr comprises entre les limites de cette intégrale;
a® Que pour les valeui*s de x,^ correspondant aux points situés sur la ligne de contour qui limite l'intégrale double, on ait les deux équations
ou
Celles-ci correspondent aux équations {b) du n® 389. et se décomposeront de diverses manières, suivant les relations que la nature du problème établira entre les variations 8x , Sjr, 8zy8py ^Çj pour les points situés sur la ligne de contour. Si, par exemple , ces cinq variations sont indépendantes et arbitraires, les deux équations se décomposeront en cinq autres,
y Enfin il faudra que l'équation S8u = o soit satisfaite, par l'évanouissement de S ou de 8u , aux points extrêmes de la ligne de contour, comme cela a été indiqué pour le cas où la ligne de contour est réputée invariable.
