Pour simplifier l'expression du radical R, sans

nuire à la généralité du problème d'intégration qui nous

occupe, désignons par t une nouvelle variable, et posons

r+st

nous pourrons disposer des coefficients r et s, de manière à faire évanouir dans le polynôme R^ les coefficients des puissances impaires de t; et il s'agit de prouver qu'on satisfait toujours à cette double condition par des valeurs réelles de r, s.

Mettons le polynôme R* sous la forme

e(x^a) (ar — p) (^ — y) (^— *), oLyP^yj 8 étant les racines de l'équation R'=o. On aura, en substituant pour x sa valeur en t,

p«4^^-K^"«>] [^P+(^"P)^] [^t+{'-^y\ M+MM :

et l'on fera évanouir les puissances impaires de t, si l'on

pose

OU bien

a« — (a+ p) (r + j) + 3ap=o, arf (Y + 4) (r 4- f) + ayj = o;

d'où

rsi

a + p— (y + 5) Or^ d'après la composition des équations du second degré^ ret ^ seront des quantités réelles^ si les valeurs de r-j-j" et de r^ sont elles-mêmes réelles, et si l'on a en outre

{r+sy — 4r5>o, ou, en substituant.

Lorsque les quatre racines oc^ % y, & sont réelles^ il est permis de supposer que ces lettres les désignent suivant leur ordre de grandeur; la troisième condition sera satisfaite, et les deux autres le seront indépendamment de toute supposition.

Si deux racines sont imaginaires^ en sorte qu'on ait a=|Ji-f-v\/II7, p = |A — v\/Z:ï, les valeurs de r -|- j et de rs ne cesseront pas d'être réelles : l'inégalité (i3) deviendra

et sera par conséquence vérifiée. On prouverait aussi facilement qu'il en est encore de même^ quand les quatre racines sont imaginaires.

A la vérité, si l'on supposait a-|- p z=zy-|-5, les valeurs de r^setde rs deviendraient infinies; mais on aurait en même temps

R» = ^[^» — (a H- P)j: + ap] [^'— (a 4- P)ar + T*] ;

INTEGRATION DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 17

en sorte qu'il suffirait de poser

pour faire évanouir dans R les puissances impaires de t.

Une autre exception se présenterait, si l'on avait a=Y, p = J; car alors les valeurs de r-f- j, rs prendraient la forme 5 ; mais il est visible que dans ce cas le polynôme R' deviendrait un carré parfait, et que la fonction h intégrer serait rationnelle.