La fonction différentielle

OÙ la variable y est censée liée à x par une relation quelconque ^=trf^, équivaut à une fonction différentielle d'une seule variable îxdx^ en désignant pour abréger par fr la fonction

<p(a7,TAr) + i({xyjix).'^x'^ de sorte que si Ton pose z=^fix:dx^ et par conséquent dz = (f[x^)dx + il{x^)djry (a)

on pourra toujours, quelles que soient les fonctions ç, ij;, tS^ ramener aux quadratures la détermination de la fonction z.

Au contraire, si les variables xetjr sont considérées comme indépendantes, on ne pourra pas en général déterminer une fonction z de ces deux variables, telle que l'équation (a). soit satisfaite, ni construire dans l'espace une surface dont l'ordonnée z ait une différentielle totale exprimée par le second membre de cette équation* Car, pour cela, il faudrait qu'on eût

et par suite [ia3]

DES CONDITIONS D^INTÉGRABILITÉ. 157

Quand les fonctions 9 et + vérifient l'équation {b\ on dit que l'équation {a) satisfait à la çpndition (Tinté'' grabilité: il existe alors une surface dont on peut représenter par (a) l'équation différentielle, et par z=f(a:^) réquation en JO^^z.

394. Dans ce cas, la détermination de la fonction z se ramène aux quadratures ; car, puisque l'on a

il faut que la fonction z soit de la forme

6/ désignant une fonction de la seule variable^ qui doit être traitée comme une constante dans l'intégration indiquée par rapport à x. De là on tire, en vertu de la règle de différentiation des fonctions sous le signey [366] :

z=J<f{x^)dx +y [+(x^) -J'^^^dx^x + const.

Pour qu'effectivement ^y ne contienne pas :r, il faut qu'on ait

ce qui fait retomber sur la condition d'intégrabilité exprimée par l'équation (i).

Prenons pour exemple la fonction

qui satisfait [121 3] à la condition d'intégrabilité : on aura

, ^ a.arctanfi^a.Oj X ^y

"^ ~af4-7'~ dy ~ '

et par conséquent dans ce cas très-simple,

œ z = arc tang — h const.

395. I^orsqu'un point se meut sur la surface z:=f{xjy)j et que chaque ordonnée z ne rencontre la sur&ce qu'en un point, la différence des valeurs de z au commencement et à la fin du mouvement, ne peut dépendre que des valeurs initiales et finales assignées aux coordonnées x^j^ et nullement de la forme ni de la longueur de la courbe que le mobile a décrite sur la surface entre les de*ux points extrêmes. Donc, si l'on établit une liaison arbitraire j^=t;j a:, entre les variables indépendantes x^j au moyen de quoi la différentielle dz devient une fonction de la seule variable x^ la valeur de l'intégrale définie

z — z o == / [(!^x,y)dx + i/^x^y)dy]

doit être indépendante de la forme de la fonction -çS. Donc il faut que cette intégrale puisse s'obtenir, saus qu'on ait besoin d'assigner de liaison arbitraire entré^ et x; comme en effet nous venons de voir que cette intégrale s'obtient toutes les fois que la différentielle dz satisfait à la condition d'intégrabilité, ou toutes les fois

DES. coNDiTioirs d'integaabilite. 1 59

que la variable z peut représenter l'ordonnce d'une surface.

Si pourtant les deux fonctions (p, f^, ou l'une d'entre elles, devenaient infinies, ou passaient brusquement d'une valeur finie à une autre dans l'étendue de l'intégration, les conclusions qui précèdent devraient être modifiées. En effet, il pourrait alors y avoir plusieurs points de la surface dont la projection en œj- serait la même, ou plusieurs valeurs de z correspondant au même système de valeurs des variables x^f : en sorte que la différence z — Zo ne dépendrait plus seulement des valeurs initiales et finales de x^jr, mais dépendrait aussi de la série des valeurs par lesquelles xetj- ont passé, ou de la courbe que le point mobile a décrite sur la surface.

Si par exemple la surface est une sphère coupée diamétralement par le plan horizontal des xjy^ et que le mobile, partant d'un point de l'hémisphère inférieur dont les coordonnées horizontales sont x^^^^ arrive à un point dont les coordonnées horizontales sont .r,^, la différence z — z^ changera, selon que ce point extrême appartiendra à l'hémisphère inférieur ou à l'hémisphère supérieur : mais, dans ce dernier cas, les valeurs de 9, <{/ auront passé par l'infini entre les limites des intégrations ; car l'équation de cette sphère est de la forme

d'où

•V/r«— (a:— Qa — Cr— yj>

valeurs qui deviennent infinies, quand on a

160 LIVRE V. CHikPITHE fX.

OU quand le point mobile pénètre le plan ^, pour passer de rhémisphère inférieur sur Thémisphère supérieur.

396. Ces considérations s'étendent à des fonctions d'un nombre quelconque de variables. Ainsi, pour qu'il existe une fonction u de trois variables indépendantes x^y^Zj susceptible de satisfaire à l'équation différentielle

du^TLdx + Yrfj + Yrfz, {c)

où X, Y, Z désignent, pour abréger, des fonctions des trois variables x^y^Zy il faut qu'on ait [rag]

d]L d^ dK^^ dY dZ ,«

dj- dûc dz dx dz dy ^^

Réciproquement, lorsque ces équations de condition sont satisfaites, on détermine la fonction u par une suite de quadratures. Ainsi l'on a

u=f^dx + ^X,z), d'où l'on tire, en différentiant sous le signe y,

dy J dy dy

et par conséquent

Pour déterminer la fonction x^, on remarquera que

dz J dz . dz ^

mais, d'un autre côté, en vertu de la précédente équation.

dz donc

dz

DES GOlTDITIOJyS d'iNT^GRABILITE. 161

et enfin

Pour que la fonction ^(j'jz) ne contienne pas œ, il faut qu'on ait

£rr rfx

cette condition étant satisfaite, Xz ne contiendra pas x^ si l'on a en outre

dZ rfX

dx dz '

et enfin fz ne contiendra pas^^ pourvu qu'on ait

dy dz On retrouve donc ainsi les trois équations (</). 397. Lorsque la fonction ,

qui satisfait à l'équation (c\ a une valeur déterminée et unique pour chaque point de l'espace^ ou pour chaque système de valeurs des coordonnées x^j^z^ si l'on imagine un point matériel mobile , pour lequel la grandeur u prenne en chaque instant la valeur qui lui est assignée par l'équation {e)y et si ce mobile passe du point {pc^^^^z^ au point {x^^z)^ la différence

«— «o =/('îPjj,^)— /(^o,ro,^o)

ne peut dépendre que des valeurs initiales et finales attribuées aux coordonnées ^,/,2, et nullement de la forme ni de la longueur de la courbe que le mobile a décrite dans l'espace entre les deux points extrêmes. Donc , si

l'on établit des liaisons arbitraires ^=: tuf j?, z=-^^ entre les variables x^y^z^ au moyen de quoi la différentielle totale

du = Xûb + Xdy + TLdz

devient une fonction de la seule variable x^ la valeur de l'intégrale

doit rester indépendante de la forme des fonctions ri et ^. Donc il faut que la valeur numérique de cette intégrale puisse se calculer, sans qu'on ait besoin d'assigner de liaisons arbitraires entre z, jr et x. Le calcul du n** précédent confirme cette vue à priori^ en faisant voir comment, lorsque les conditions d'intégrabilité sont satisfaites, la fonction u se détermine par une suite de quadratures, sans qu'il soit nécessaire d'établir de liaisons entre les variables indépendantes.

Toutefois, les formules de quadrature pourraient devenir illusoires, quant à l'évaluation de la quantité» — u^y si les fonctions X, Y, Z, ou seulement l'une d'entre elles, devenaient infinies ou passaient brusquement d'une valeur finie à une autre; et en effet il pourrait arriver dans ce cas que plusieurs valeurs, de u correspondissent à un même système de valeurs des variables x^y^z^ en sorte que la différence u — u^ ne dépendrait plus seulement des valeurs initiales et finales de x^j^Zj mais dépendrait aussi de la série des valeurs par lesquelles ces variables ont passé, ou de la courbe décrite dans l'espace par le point supposé mobile.

398. On rencontre fréquemment en mécanique des équations de la forme

du = ILdx -^ Yrfj -f- TJzy

DES GOITDITIONS D^mTÉGRABILITE. 163

fbins lesquelles X, Y,Z, fonctions des trois coordonnées Xyjr^ Zj désignent les forces qui sollicitent un point mobile parallèlement aux axes des coordonnées; et des théorèmes importants sont subordonnés à la condition que l'intégrale

J x^ ait une valeur indépendante des ve\dX\ou^y=:^^^z=r^x^ ou ne dépende que des positions extrêmes du point mobile, et non de la ligne qu'il a décrite en passant de l'une à l'autre. Or, pour que cette condition restrictive soit satisfaite, il ne suffit pas, ainsi qu'on a coutume de l'énoncer, que les fonctions X, Y, Z satisfassent aux équations {d)y de manière que l'équation Xrfar -f- Yéfy- 4- Zflfe = o soit l'équation différentielle commune à une série de surfaces qu'on obtiendrait en faisant varier la constante c dans l'équation u — Mo=c» ou

Il faut encore que la fonction u et ses dérivées partielles X,Y,Z ne deviennent point infinies dans l'étendue des intégrations ; et qu'à un même système de valeurs des coordonnées x^y^Zy ne correspondent pas plusieurs valeurs réelles de c, de telle sorte que les diverses surfaces dont il vient d'être question puissent avoir des points communs.

*399. D'après toutes ces explications, on voit que la théorie de la variation des intégrales, exposée dans les deux chapitres précédents, se rattache naturellement à la recherche des conditions d'intégrabilité , pour les fonctions différentielles de plusieurs variables indépendantes. Il s'agit en effet dans cette recherche de trouver

les conditions pour que les changements de valeurs ou les variations d'une intégrale définie ne dépendent que des valeurs initiales et finales, assignées aux variables qui entrent sous le signe f^ et nullement des liaisons qu'on pourrait arbitrairement établir entre ces variables dans l'étendue de l'intégration. Or, c'est à quoi s'appliquent immédiatement les formules pour la variation des intégrales, dans lesquelles on fait usage de l'algorithme de Lagrange.

Admettons que la fonction différentielle pour laquelle on veut trouver les conditions d'intégrabilité, renferme, outre les variables o:,^, leurs différentielles des divers ordres jusqu'à l'ordre n inclusivement. Pour que cette fonction ait un sens intelligible, il faut qu'elle se réduise à une fonction de la seule variable x, quand on assigne entre x etj" une relationjr=t;;^.r : il faut par conséquent que cette fonction prenne la forme

lorsqu'on y traite x comme une variable indépendante, et^ comme une fonction de x. L'intégrale de cette fonction, si elle peut en avoir une indépendamment de toute relation entre x et^, sera de la forme

de sorte que l'on pourra poser

et il s'agit de savoir si la valeur de l'intégrale contenue dans le second membre de cette dernière équation peut rester indépendante de la relation arbitraire qu'il faut nécessairement établir entre ^ et x pour rendre la quadrature possible, par les procédés ordinaires.

Afin de conserver les notations employées dans l'avant-dernier chapitre, écrivons

DES GOICDITIONS D INTÉGRABILITÉ. 165

JV==Xdir+Yrf7+Y('Wy+Y(«)rf/+Y(3Wy''+etc. : (/) nous aurons

^/Vd:r=Vaa:+(Y(.)-î^ + ^- etc.) (èy-y^r)

+ (Y(')— ^^+ etc.) (^y —yjar) + etc.

fl^ rfY(0 rf-YW iPYW n,. ,. ,,

+y r--^ + ^-^r + etc.](*r-y*x)^.

Cette équation se déduit de la formule (A) du n" SyS, en omettant les termes qui se rapportent à la limite inférieure de l'intégrale, parce que les valeurs de o:,/-^, etc., à cette limite sont censées constantes, et en supprimant Findice (i), pour mieux marquer que nous considérons comme variables les valeurs de x^y^f^ etc., qui se rapportent à cette limite supérieure.

Maintenant, si, par la forme de la fonction /ou Y, on a identiquement

il est clair que la variation de l'intégrale ne dépendra plus que des variations des quantités x^y^f^ etc., qui se rapportent à la limite supérieure; de façon qu'elle restera indépendante de la relation arbitrairement établie entre y ^t x dans l'étendue de l'intégration.

Donc l'identité {g) exprime la condition d'intégrabilité de la fonction /^ ou la condition pour que cette fonction ait une intégrale F, de l'ordre immédiatement inférieur. Lors même que la fonction F ne comporterait pas d'expression par les signes élémentaires de l'analyse, on pourrait toujours en assigner numériquement la valeur, jlbur chaque système des valeurs initiales et iSnales des quantités Xj/^y\ etc., eu calculant arithmétiquement

[32o], avec une approximation indéfinie, l'intégrale

après qu'on aurait établi entre j^ et x, pour rendre le calcul arithmétique possible, une relation arbitraire dont la forme n'influerait pas sur la valeur de l'intégrale; puisque, par hypothèse, l'équation (g) est identiquement vérifiée.

*400. D'ailleurs, en vertu de cette même équation {g\ on a [375]

= E^x + n/ + Yc^sy + Y(*^ V + • • • + Y(- '>*/—>,

3,Y,Y^'\. . .T^""'^ désignant des fonctions connues de Xyy^fyy'j etc. Or, rien ne s'oppose maintenant à ce qu'on remplace la caractéristique ^ par d^ en écrivant rfF=ai:r+Yrf74.Y(0rf/+Y(»Wy'+...+Y(«-0rf/»-0. (A)

Par conséquent l'on a, pour déterminer F en fonction deo:,^,^,. . . jr^*~'\ considérées comme variables indépendantes, une équation de même forme que celles qui ont été traitées au commencement de ce chapitre : et comme le même procédé d'intégration s'y applique, il en résulte que la détermination de la fonction F se ramène toujours à une suite de quadratures.

A la vérité, ceci suppose : i* que les facteurs a, Y, Y^'^ etc. ne contiennent pas de dérivées de^ supérieures par leur ordre à ^■^'^; a^ que l'équation (A) satisfait en outre aux conditions d'intégrabilité exprimées par les équations

^ dX ^ rfY(')

dy dx^ df rfr '

Mais remarquons que, si toutes ces conditions n'étaieift pas satisfaites, il y aurait contradiction à admettre que

DES CONDITIONS d'iNTIÉGRâBILITC. 167

F est fonction des seules variables x,y^j . . ./^""'^ considérées comme indépendantes; ce' qui est pourtant, d'après ce qui précède, une conséquence de l'identité {g). Donc, l'existence de la fonction F, dans le cas de l'identité {g\ ayant été démontrée par des raisonnements indépendants de la forme de l'équation {fi)y nous pouvons être assurés que cette équation satisfait aux conditions d'intégrabilité, et nous en prévaloir pour affirmer que la fonction F est toujours susceptible de s'exprimer sous forme finie, par une suite de quadratures.

Lagrange s'est contenté de démontrer que la fonction F peut toujours s'obtenir par un développement en série, ce qu'on regardait alors comme suffisant, et ce qui ne satisferait plus aujourd'hui les géomètres, puisque la série obtenue peut, comme celle de Taylor, et à plus forte raison, tomber en défaut ou cesser d'être convergente. Les démonstrations plus anciennes ont paru à ce grand géomètre obscures ou trop compliquées (*). Le raisonnement qui précède suppose seulement que les fonctions E,Y,r^'^ etc., n'éprouvent pas de solutions de continuité du premier ordre»

* 401. Prenons pour exemple la fonction

on a

par conséquent l'équation {g) est satisfaite, et il vient {•) Leçons sur le calcul des fonctions, ai* leçon.

OU

ou bien enfin

dF = {x+y)dx+ (7— i) rfj+^rf/.

On reconnaît sans difficulté que le second membre de cette équation^ considère comme fonction dififërentielle des trois variables indépendantes x^y^y^ satisfait aux trois conditions d'intëgrabilité indiquées au n** 396 ; et l'on en conclut, par les formules de ce n%

F(^> 7> 7') = ^* 4-y* — 27 + ^y'x + const. On peut se proposer de généraliser ce qui précède, en recherchant les conditions d'intégrabilité d'une fonction qui contiendrait plusieurs variables indépendantes avec leurs différentielles des divers ordres; ou bien en cherchant les conditions pour qu'une fonction différentielle de l'ordre n ait non-seulement une intégrale de l'ordre immédiatement inférieur n — i, mais encore une intégrale de l'ordre n — 2, ou de l'ordre n — 3, et ainsi de suite. De semblables questions comportent de trop rares applications pour qu'il y ait lieu de s'y arrêter ici.

^CHAPITRE X

DES INTEGRALES DÉFINIES PBISES ENTRE DES LIMITES SPECIALES. DIVERS EXEMPLES DE DÉTERMINATION

d'intégrales DÉFII^IES.

402. Lorsque Tintëgrale indéûnie f/œdx ne peut pas s'exprimer algébriquement ou par les fonctions transcendantes dont on a des tables , l'intégrale définie

^ fxdx (i)

ne peut en général être calculée qu'approximativement, par les sériés ou par le procédé de sommation arithmétique dont il a été question plusieurs fois [32o] : mais dans ce cas même il arrive souvent que, pour certaines valeurs spéciales des limites, appropriées à la forme de la fonction f^ telles que

o, dboo, dii, zhTir, etc., la valeur de Tjptégrale (i) s'obtient exactement et directement , sans qu'on ait à passer par l'intégrale indéfinie. Il arrive aussi que l'intégrale prise entre ces limites spéciales, lors même qu'on l'obtient par une intégration indéfinie, prend une expression beaucoup plus simple, ou jouit de propriétés remarquables qui n'appartiennent plus à la même intégrale, prise entre des limites quelconques. On pourrait attribuer la dénomination dintégrales définies spéciales à celles dont on vient d'indiquer sommairement les caractères distinctifs : le calcul

170 LIVHE V. — CHAPITRE X.

et la théorie de ces intégrales forment maintenant une branche très-importante de l'analyse.

Pour éclaircir ce sujet, supposons que Ton demande la valeur de Tintégrale définie

* sin^ xdû: :

on remarquera que cette valeur est évidemment la même que celle de l'intégrale

cos' X(ÙC,

puisque, dans Tintervalle de o à jiu, sin x et cos a: passent suivant un ordre direct ou inverse par la même série de valeurs. Donc

*sin'^éir=- / '('sin*jr4-co8*^)rfiF = - / *d[r=-;o Vo Vo 4

A la vérité on obtiendrait le même résultat, sans recourir à la considération que nous venons d'employer , en effectuant l'intégration indéfinie , qui est possible dans ce cas, et qui donne

fsïv?xdxz=z^x-^ -J-sin %x + const. Aussi notre but a-t-il été seulement de montrer comment des rapports convenables , entre les limites de l'intégrale et la forme de la fonction , peuvent conduire à l'évaluation de certaines intégrales définies, sans qu'où ait besoin de passer par les intégrales indéfinies. 403. Soit encore l'intégrale

si nous la multiplions par une autre intégrale de même forme, où nous écrirons seulement^ au lieu de jc, le

INTEGRALES DJÎFINIES SP^ALES. 171

produit des deux intégrales simples^ équivaudra à l'inté* grale double

En effets lorsque les limites des deux intégrales simples

ffxdx, ffydy, ne dépendent point , pour la première de^ , pour la seconde de X , leur produit est égal à la somme qu'on obtient en multipliant chaque élément de la première par chaque élément de la seconde, c'est-à-dire à l'intégrale

double

JffxSy.dydx^

pour laquelle les limites, par rapport à chaque variable, sont les mêmes que celles des intégrales simples.

Posons maintenant ^=::r^, t désignant une nouvelle variable, d'où [367] dx^=^xdt\\^^ limites de / seront encore o , 00 9 et l'intégrale (a) deviendra

Donc

(/." '-''^)(J' -'•"^XJ' •-'^)"=r'

et par conséquent

e-^dxz=-i/:i, (a)

résultat d'une grande importance et d'une application fréquente. L'artifice de calcul qui nous a donné la valeur de l'intégrale (a), ne réussit que parce que les limites sont o et 00 : entre d'autres limites l'intégrale feF^dx constitue une fonction irréductible aux transcendantes usuelles, ou une transcendante qui doit avoir sa table propre, et dont nous avons donné plusieurs expressions en séries [317].

On conclut immédiatement de l'équation (a)

/•oo

et en remplaçant a: par .r J/ô,

Diffërentions / fois de suite les deux membres de Téquation par rapport à 6 , suivant la règle du n® 366 , et faisons ensuite 6=1 :il vient

On a d'ailleurs , pour toutes les valeurs entières et positives de if

puisque l'intégrale est composée d'éléments qui se détruisent deux à deux.

On doit remarquer l'artifice de calcul qui consiste à tirer de la valeur connue d'une intégrale définie y celle d'une autre intégrale définie prise entre les mêmes limites, et que l'on fait dériver de la première, en différentiant ou en intégrant celle-ci sous le signe y [366] par rapport à un certain paramètre. C'est ainsi qu'eo intégrant par rapport à m^ entre les limites (x,v, les 4eux termes de l'équation

o Tn

on trouve

Au contraire , si l'on différence / fois de suite, par rapport à m j l'équation

IlfT^GRàLFS DÉFINIES SPÉCIALES. 173

dx IV

il viendra

:r' +;»)'+• a'.n»Vm '

(foù

<fa I x.3.5...(a/ — i) ir -^

o (ar»+wy+* ^V^* a. 4. 6... a* 'a' l- ^

404. Les géomètres ont calculé par des méthodes trèsvariées les valeurs d^un grand nombre dMntégrales définies : nous donnerons comme exemples les formules d'une démonstration plus simple ou d'un usage plus fréquent, en commençant par les cas où la valeur de l'intégrale définie se tire immédiatement de Texpressioa trouvée pour l'intégrale indéfinie.

On tire de la formule ((x) du n"* Sog

/, sini*~'j?cos j? f* — I /* . ,

sin^xdx=3 — • 1 1 sin^^^'aror, \h V- J

et de la formule (v)

/, sinj:cos*~'j: v— i f ,

cos'j?rfr= 1 1 cos*-*:raa:, V "^ J

d'où

y* sinï» xdx = / * sini*"* xdar,

*cos'*xdx:= 1 *cos*"*j:iir.

o V Jo

Comme les mêmes formules de réduction s'appliquent aux intégrales qui entrent dans les seconds membres, on a, en désignant par a/ un nombre pair quelconque,

/*! . . , /*l . , 1.3.5. ..(a/ — i) ic .,. / 8in«a:rfa:=/ cos»'x/ir=x— 7-^-^^ r-^.-> (*)

et en désignant par a/-|-T un nombre impair quelconque, '8in»'-»-'j?£fe=/ 'cos'*+'xd:r=^ 2.4.6 2t

Or, il est à remarquer que Ton peut toujours prendre le nombre i assez grand pour que les valeurs des intégrales

/ 'sin»'+"a?rfj?, / ^àxi^'xdx (3)

diffèrent d'aussi peu qu'on voudra des intégrales

/ ' ûvL^'^^xdx^ / * ùn^'xdx^ (4)

6 désignant un nombre positif susceptible de décroître au-dessous de toute limite. En effet l'on a

j^ *sin*a:£iar<g-e)sin*(™6),

et le second membre de l'inégalité peut évidemment, quelque petit que soit e, tomber au-dessous de toute grandeur donnée , pour une valeur convenable de l'exposant k.

Maintenant l'on peut prendre e assez petit pour que les intégrales (4) diffèrent chacune d'aussi peu qu'on voudra de l'intégrale

Ji

dx-

et pour que leur rapport diffère d'aussi peu qu'on voudra de l'unité : donc, pour des valeurs suffisamment grandes du nombre i , le rapport des intégrales (3) différera de l'unité d'aussi peu qu'on voudra.

On en conclut que le rapport des deux fractions formant les derniers membres des équations [b) et (c) tend

INTliGRALES DÉFINIES SPÉCIALES. 175

indéfiuiment vers l'unité, pour des valeurs indéfiniment croissantes de /• Donc

ir s. a. 4«4* 6*6» 8.8...

a 1.3. 3.5. 5.^. y,g..é Cette expression du nombre ir, en produit continu d'une infinité de facteurs y est due à Wallis : on la retrouve de diverses manières.