Nous admettrons donc que Tinfiégrale
est toujours ramenée à dépeiuiire d'une autre intégrale
Rx '
R,* étant un polynôme èm quatrième degré en ty qui ne contient point de puissances impaires de la variable : ou, ce qui revient au même, nous admettrons que, dans Hntégrale {g)y le radical R ne contient point de puissances impaires de .r.
On peut aller plus loin, et admettre que la fonction rationnelle Yx est également paire. En effet, si elle était impaire, sa forme la pins générale serait
4, ci>, e, O désignant des fonctions paires de x. On aurait donc, par une transformation analogue à celle du n" 3oi,
/Yxdx /V99 — caQ \ dx /Vcae — QQN xdx
Or, dans la première intégrale du second membre, la T. II. a
18 LIVRE V. CHAPITUK I.
fonction qui multiplie — - ne contient que des puissances
paires de x ; et si l'on fait dans la seconde .r' = ty la fonction sous le signe /deviendra de la forme
¥^tdt
et pourra êtfe rendue rationnelle, d'après lé § a.
304. Nous disons de plus que^ sans restreindre la généralité du problème qui consiste à obtenir l'intégrale {g)j il est permis de supposer le pol3môme R* de la
forme
R»=(f±/.»a;»)(idzy'^'), (R)
les termes /?*a:% q^x* devant être affectés du même signe, positif ou négatif.
En effet, puisque R* ne contient point de puissances impaires de ^, et qu'un polynôme du 4® degré se décompose toujours en facteurs réels du second, rien n'empêche de poser
R» = (ot + nx^) {m' 4- n'jf) ,
m, n, m', ri désignant des quantités réelles. Donc, si l'on fait
m{m' + n'x^) mV m'+n'x'^ la variable t sera réelle en même temps que x. Ort tire de ces équations
dx xdx mdt
"R mt(m!+riaf) /w-|-2/i^ — n!m^e dt
K I -f- %(^mfn — mil')/» -+- m*n'»M
Posons maintenaDt il viendra
5E* = ± (nm'n — mn!) — a l/m'uCn'»— «»')? d'oïl, en vertu d'une formule connue d'algèbre ,
p = \/dz m'n H- \/±: {mn — mn) , ^ = \/±n?» l/'±:(iïi'ii— ./nn').
On pourra disposer du signe^ de manière à rendre rëel le radical l/^c m'n ; et en admettant, ce qui est bien permis^ que l'on a
le second radical qui entre dans les valeurs de p elàeq sera pareillement réel.
En conséquence, il viendra
dx , /3b
Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction
on la mettra sous la forme
ou, ce qui revient au même, on peut admettre que dans la fonction {Ji), le radical a la forme indiquée par l'équation (Rj.
305. I^ fonction F peut être entière ou fractionnaire. Supposons d'abord qu'elle soit entière* en sorte qu'il s'agisse d'obtenir une somme d'intégrales de la forme
et posons^ pour abréger,
R*=(i±/7*^) (i±y*^)=i J^rac' + sx^ :
on aura identiquement
et par conséquent
VKX^i-^ + const. = (2/— 3) /^^ — ^ h (2ï'— 2)r/ — =■
+ (2«— ay-jp.
Ainsi l'intégrale (/) est ramenée à dépendre de deux autres de même forme
/x*''*dx f^'-^dx, -R-' y-R— ^
et comme on peut opérer ainsi de proche en proche, il en résulte qu'en définitive Fintégrale («) sera ramenée à dépendre, quel que soit f, des deux intégrâtes
Si la fonction F {x'^) est fractionnaire, on en extraira la partie entière; et le reste étant décomposé en fractions partielles [§ i*'], on aura à (^Cenir une somme d'intégrales de la forme
^Jix^+ayti' ^J^
Or^ on a identiquement
INTEGRA.TIOV DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 21 RiC
{i+2ra;*ihZss^) (x'+a) — a(i — i) (i + rjs*+ 5^^)j;' .
d'ailleurs on peut poser
(i + ar^ H- ^sx^) (x^-ha) — a(< -^ i) (i + ro:" 4- sj;^)a:*
~ (a:» -f- ay-3 "^ (:r^ + «y-* '^ {x' + ay-' {x'+.ay ' gyhyJcy / étant «des coefficients que l'on déterminera sans difficuifeé en idetitifiant les deux-membres, et qui ont fiour valeurs
g=: — (û/ — 5)5, h =rr— (a* — 4) ('' — 305), k=. — [ii — 3)(3a'tf — iar-+-i), /=:.(a«— a)(a^r— a^r-4-«). Il viendra en conséquence
Rj; /* dx . f dx
y^+^pR"*" j/(^+ûyR-
En vertu de cette dernière formule, et par un calcul de proche en proche semblable à celui qui vient d'être indiqué pour l'intégrale (/), on ramènera l'intégrale (y) à dépendre des deux intégrales (A) , (B) et d'une troisième
dx
Donc, en définitive, l'intégration de toute fonction rationnelle de a: et d'un radical carré recouvrant un polynôme du quatrième degré en :«:, se ramène à la détermination des trois intégrales (A), (B), (C).
Nous verrons plus loin quelles transformations ultérJeui'es les analystes ont fait subir à ces dernières
fonctions, quelles sont les principales propriétés dont elles jouissent y et comment on a pu dresser des tables des valeurs numériques qu'elles acquièrent , quand on assigne numériquement les limites de l'intégration. § i^. Irrationnelles binômes.
