Cherchons la limite vers laquelle converge l'intégrale

V sm m ,

-1 ao),

|A smo)

quand on prend pour i un nombre positif de plus en plus grand. A cet effet , remplaçons / par - , e désignant un nombre positif qui converge indéfiniment vers zéro , et posons - = 6 : il viendra

y-; dv>= I *-. — Â*sin0^6. (<ù)

pt smw j!t sm w ^ '

Mais, quand on traite e comme un nombre infiniment

206 LITHE V. CHAPITRE XII.

petit, le facteur-: — ^s'évanouit, à moins que sin e6 ne soit en même temps infiniment petit, auquel cas

sineO

donc, à la limite, on peut remplacer Tintégrale proposée par

' 7sm(

Or on a [407]

o e 2 ' 7-cD e

Maintenant si (jl et v sont des nombres positifs, et si e est un nombre très-petit, les deux intégrales dii premier membre de l'équation précédente sont l'une et l'autre à très-peu près égales à ^ir : donc leur différence, ou l'intégrale proposée (w), est à très-peu près nulle, et à la limite (/=oo ) elle s'évanouit rigoureusement.

Par la même raison , dans le cas oii l'on aurait (jt.=o , V conservant d'ailleurs une valeur positive quelconque, (o)) prendrait, à la limite , la valeur 7 ir; enfin, si (^ désignait un nombre négatif et v un nombi« positif, l'intégrale (o)) convergerait vers la limite tt.

En conséquence, et comme on suppose que la fonction y reste finie entre les limites de l'intégration, il arrive que, pour des valeurs positives de /, de plus en plus grandes, correspondant à des valeurs positives de 6 , de plus en plus petites, la limite vers laquellie converge l'intégrale

DKVELOPPEMBITTS EK SERIES THIGONOMJBTRIQUES. 207

est zéro si les nombres [jl , v sont de mêmes signes et différents de zéro. Elle devient f '^fip) si le nombre \l est zéro; et enfin elle prend la valeur 75/(0) quand les nombres (A, V sont affectés de signes contraires.

Dans cette dernière hypothèse, si la fonction /io convergeait vers des limites distinctesyj(o) ,^(0) selon que w convergerait vers zéro en passant par des valeurs négatives ou positives; ou, en d'autres termes, si la fonction fiù passait brusquement de la valeur fj^o) à la valeur /,(o), la limite tt/^w) se trouverait remplacée par

Après avoir ainsi déterminé , dans tous les cas , la valeur limite de Tintégrale (o) , nous passerons au théorème en vue duquel nous avons cherché cette limite ^ en suivant, pour cette dernière partie de la démonstration, une marche indiquée par M. Dirichlet (').