La fonction
S,= - I sin 07 / /? sin Çrf| + sin 7^ 1 f\ sin aÇrf^ + . . .
. . . 4- sin ixl f\ sin zÇrfï 1 >
ou la somme des i premiers termes de la série {a) , peut
se mettre sous la forme
■/ /5^[3 sino:sinÇ+ 2 sin ao: sin 2?+. . .-f-asinirsinij]
i /*w r i-+-cos(a: — $)-*-cos2(^ — Ç)4-..-|-cos«(a: — Ç) "1 ^î/o*^ L-[i+cos(or+5)4-cos2(o;+?) ^..4-cos/(^-hÇ)]J '
D'après les formules du n^ 4^^? ^^ ^ (*) Journal de math,^ de M. Crelle , toin. IV, pag. x66.
208 LIVRE y. GHIPITRE XII.
I +cos(ardzÇ) -h cos 2(;r±Ç)+ . . . +cosi(j?dt?)
I r cos/(j:±Ç) — cos(i+ i) (ordtQT
aL I — cos(j7±Ç) J
"~2L sin^(a?±Ç) J' en sorte que la somme Sj devient
aiu/o*^ 8in7(a:-Ç) aic/o*^ sinK^+Q
Faisons dans la première intégrale j;* — Ç=aa), et dans la seconde x -|- Ç = aw , d'où
c ^ r» /•/ \ sin(2«+i)û) , S,= - / ^f(sc — a») . — ^ ^ diù
V sin(az4-i)» .
-x) . — ~ ^ ow.
"'ato-
sinco
Nous admettons que x tombe entre o et ir, d'où il suit que les deux limites de la seconde intégrale sont positives, et que la limite inférieure de la première est négative. Dès lors, en vertu du lemme qui fait l'objet du numéro précédent, la seconde intégrale est nulle pour /=:oo . D'ailleurs, quand on fait (i)=o dans la fonction f(x — aci)), elle se réduit k/x : donc la limite vers laquelle converge la première intégrale est - . Tçfx. Donc
le second membre de l'équation (a) est une série convergente qui a pour somme^, sous la seulf^ condition que la variable x reste comprise entre o et ir, et que la fonction fx ne devienne point infinie dans cet intervalle.
Si la fonction passait brusquement , pour la valeur a, d'une valeur finie à une autre, la valeur de la série (a) serait la demi-somme des deux valeurs que prend alors la fonctiony[38].
DiVELOPPfiMElCTS EN SJÉRIES TRIGONOM ÉTRIQUÉS. 209
Il faut encore assigner les valeurs de S, pour les Valeurs extrêmes de x^ savoir o et tt. Or , on a , pour .
î/:^^ ^ su.» ic/o-^^'* ^' sino. ***♦
etpourx=TC,
ir/o-'" sinw î/:-^^ "^ sina>
quantités identiquement nulles , quel que soit /.
427. Le second membre de l'équation (a) est une fonction périodique de x^ tandis que rien n'assujettit fx à être une fonction périodique. En conséquence , lorsque fx ne s'évanouit pas pour ^ = o et ^rrnir, la courbe qui a pour ordonnée
^= ^ S.sin ixl^smi\.f\dk, (5)
est formée d'arcs disjoints, alternativement reportés de part et d'autre de l'axe des x {fig. 94). Pour les abscisses des points de disjonction , l'équation (5) ne donne ni l'une ni l'autre des deux ordonnées OM^, OM, égales et de signes contraires, mais la demi-somme de ces ordonnées, c'est-à-dire o.
