Exeny^es. i°/2;=ix
7 ^ =sin 07 — |sin 2J7 + ^ sin 3j7 — ^i sin 4r + etc. , (6) formule déjà trouvée [1 i3j. A cause que la fonction i x est inripaire aussi bien que sin ix, lequation (6) subsiste , non-seulement pour les valeurs de x comprises entre o et ir, mais encore pour celles comprises entre —r- TT et o.
210 LIVBV V. — CHAPITRE XII. .
3^ Supposons enfin que /x soit égale à ^ entre les limites o,7ir,et à te — ^^ entre les limites -jiTjTr; de manière à représenter l'ordonnée d'un triangle isocèle ^ ayant pour base ir et pour hauteur ~ ir : on aura
/ sîni5./5^=/ *sinzÇ.Ç^+ / sini:'$.(ic — Ç)rf5,
et la formule (5) donnera jrs=i-[ sîno: — ^ sin3ar+ ^YsinSo: ^sinjor + etc. j.
429< Si l'on savait à priori qu'une fonction fx peut être exprimée, entre les limites o,tr, par une série coovergente de la forme 2. A, sin ixj il suffirait d'un calcul bien simple pour déterminer les coefficients A|. En effet, de l'équation hypothétique
yâ? = A, sinor-f A, sinajr + . . . + A, sin û: + etc., on tire
sin /^j/'^'&sa Aj sinii sin VS+ A. sin i^ sin a^ -f>. . .
. . . -H A,sin' iSflK + etc.; (7)
et puisque cette équation subsiste^ par hypothèse, quelque valeur que prenne Ç entre les limites o,7r, on a, eu intégrant entre ces mêmes limites,
/ siniE/?d5=A, / siniJsinÇrfS+A,/ siniîsin2W5+...
. . . + A, / sin* ildi + etc.
D'un autre côté
/sin A sin i'Ç4 = t/cos(i— jî')WÇ — i/cos(/ + «0 WE sm{i—i')l sm{î+i')l
DÉVELOPPEMENTS fiBT SÉRIES TRIGONOMiTRIQUES. 211
expression que rend nulle le choix des limites o,ir, tant que les nombres entiers /, ï diffèrent l'un de l'autre. Pour I =i', il vient [402]
En conséquence, le second membre de 1 équation (7) se réduit au terme affecté de Aj, et Ton en tire
Ai^^f\iniX.f^,
ainsi que nous l'avons trouvé par un calcul plus compliqué. Mais, selon la juste remarque de M. Poisson, la méthode donnée en dernier lieu repose sur une hypothèse qui a besoin d'être démontrée, et qui consiste à admettre qu'une fonction quelconque peut se développer en série convergente, dont les termes procèdent suivant les sinus des multiples entiers de la variable.
430. Nous pouvons maintenant, par un changement de variables, modifier la formule (a), de manière que la formule transformée subsiste pour les valeurs de la variable comprises entre des limites quelconques, autres
que o et tç. Ainsi, en remplaçant JC par — et Ç par — ,
nous aurons
Mais rien ne s'impose à ce qu'on supprime les accents des variables x\ $'; et puisque la caractéristique y désigne une fonction absolument arbitraire, il est permis
d'écrire fa au Ueu de ff — J : en conséquence, il
vient
yd:= - 2.sm — / sm — ./ça$; [o)
et cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs de X comprises entre o et a.
Si nous y remplaçons a par a/, x par x'+l^ $ par ^'4- /, elle deviendra
OU plus simplement, d'après ce qui vient d'être expliqué,
cette dernière formule subsistant pour toutes les valeurs de X comprises entre les limites — /, -|-/. On peut mettre l'équation (b) sous la forme
H te , ÎTtx fa , |ic5 /a7=3--2.-sin — / sm — . f^d^; •^ 7c a a Jo a ^ ^
admettons maintenant que a devienne infiniment grand, et posons
la limite vers laquelle converge la série, pour des valeurs de a de plus en plus grandes, est
/ir= - / / sin 0u? sin aÇ . f\âXdft\ {d}
'kJo Jo
de sorte que la valeur àéfx^ entre les limites o, oo f se trouve exprimée par une intégrale définie double. Cette expression toutefois deviendrait illusoire* dans le cas où, par suite de la nature de la fonctionyj l'intégrale double, dont les limites supérieures sont infinies, ne conserverait pas une valeur finie et déterminée [3a4]»
Prenons /ir= -: la fonction /devient infinie à la li-
mite x=:o; cependant on tire de la formule {d)
DÉVELOPPEMENTS EN SÉllIES TRIGONOMÉTRIQITES. 213
- = ~ / / sinooT — -— ûRrfa==/ sin oucdoLy X 'kJ o J o Ç J o
ce qui s'accorde avec le résultat du n^ SaS.
431. £n opérant de la. même manière que nous l'avons fait dans les n""* qui précèdent, on démontrerait qu'une fonction quelconque, assujettie seulement à ne pas devenir infinie entre les limites o , 77 de la variable x^ peut se développer entre ces limites par une série convergente, procédant suivant les cosinus des multiples de lare x; et l'on établirait la formule yar= Ao-hAjC08a?-h A^cosaor-f.. . .+ A,cosi!2? + etc., dont les coefficients sont donnés par les équations
de sorte qu'on peut écrire
/r = - / fld\ + - . 2 . cos ixl cos i\ . f\d\. (e)
TT/o w J o
La valeur du second membre de cette équation, qui est une fonction paire et périodique de x, est représentée par l'ordonnée d'une ligne symétrique relativement à Taxe àesji^Jig. gS), et sans points de rupture correspondant.aux abscisses a:=o, a;=iu; en sorte que la formule subsiste à ces limites, sans modification.
De cette formule on tire la suivante
qui subsiste entre les limites o,a, et à ces limites mêmes. Puis, en supposant infinie la limite supérieure a, on obtient
fa:z=^l I cos ouc cos oLl.fldldoL. (g)
£n suivant la même analogie^ on trouve encore
214 LIVRE V. CBAPITRE XII.
formule qui subsiste entre les limites — A-|~ A ®^ même à ces limites.
432. Pour donner quelques applications de ces dernières formules, prenons successivement
/^==|x, /ar=sinx, /j:=vit :
on aura, par Fëquation (e), entre les limites o, tt,
iiaT ioii- 1
-j: = -;7c cosj:-|-7îTCOso^+T;-cos5a:4-elc. |i
2 4 Tcos ^x cos Ax cos 6âr 1
sm^ = = h a g -h -T h etc. h
ic ic L 1.3 3.5 5.7 J
i. 7ç = cos jr — J cos 3^ + ^ cos 5^ — y cos 7:f + etc. Il suffit de faire a:=o ou j:=:iu dans chacune de ces dernières formules, pour avoir autant de développanents curieux du nombre transcendant it, et ces développement peuvent être variés à l'infini.
Multiplions par dbc les deux membres de la dernière équation obtenue, intégrons entre les limites o, Xj et divisons par I TT : il viendra
-^=- [sina: — •=-sin3^+ rr-sm 5^— -—sm 7j:+etc. 1 (11) 2 tt'- 3* 5* 7 J V /
La série (9) étant convergente, celle-ci Test à fortiori; et ce rapprochement des deux formules montre qu'une même fonction peut avoir plusieurs développements convergents, procédant suivant les sinus des arcs multiples : ce qui distingue essentiellement les séries dont il s'agit dans ce chapitre, des développements suivant les puissances de la variable, qui ne peuvent être opérés que d'une seule manière , par la formule de Maclaurin. Il résulte aussi de cette remarque que leprocédé du n** 4^9 ne donne pas tous les développements que la fonction
DJÉVELOPPEMEirrS BN SUBIES TRIGOKOMÉTRIQUES. 215
est susceptible de recevoir en séries procédant suivant les sinus ou les cosinus des arcs multiples.
433. Si Ton ajoute membre à membre les équations (a) et (e)y et qu'on prenne la moitié de la somme, il viendra*
/^=± /'''/WI + i 2[sin Lx;f''smil ./WÇ + cosixpcosil./Xdl]
=i^ Cf^^^ + - ^rcosi{x-ï).fidi (i)
Le lieu géométrique de l'équation
jr^l-^J^ f\d\ + l^ f\osi{x
est formé {Jig. 96) : i* d'un système d'arcs disjoints... M^N^^,MN,M''N",.- ^"^ d^ portions de l'axe des abscisses, comprises entre les ordonnées des points où ces arcs s'interrompent. On en conclut que la formule {C) ne subsiste aux limites o et tu que si Ton a o=if(p)=f(Ti). Dans le cas contraire, la série donne ■^/'(o) pour x=o et 5-/(ir) pour a;=T:.
En combinant de la même manière les formules (b) et
434. Toutes ces formules sont encore suscipptibles de nombreuses transformations : nous«nous bornerons à en indiquer une.
Soit fx une fonction qui a pour valeur 9.r, de zéro à aj et pour valeur ^Xy de zéro à — a : d'après la formule {k\ la fonction
216 LIVRE V. GMàPITRE XII,
se réduira à çx pour les valeurs de x comprises entre o et a, et à zéro pour les valeurs de x comprises entre o et — a. Pareillement la fonction
se réduira à ^ pour les valeurs de x comprises entre o et — a, et à zéro pour les valeurs de x comprises entre o et a. Donc la fonction
se réduit à ^x pour les valeurs de x comprises entre —a et o, et àçj; pour celles qui tombent entre o et a; ce qui revient à dire que la formule
subsiste pour toutes tes valeurs de x comprises entre —a et '\-a. On pourrait changer a en /, et l'on aurait une formule distincte de Téquatioa {t)y quoique toutes deux subsistent pour les valeurs de x comprises entre les mêmes limites^
43#. Par un procédé semblable à celui du n^ 4^9 on tii-e de l'équation (/w), en y supposant rt=QO ,
/j7=- / ? cosa(a: — \).f\d\d(i\ («)
et cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs réelles de x^ puisque l'intégration relative à \ s'effectue entre les limites — oo , -|-bo . On l'appelle la formule
