DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TAIOOKOMETRIQUES

de Fourierj du nom du géomètre célèbre qui en a enrichi l'analyse. La démonstration de cette formule résulte de ce qui précède; mais, à cause de son importance, nous en donnerons une autre démonstration plus simple et plus directe, due à Deflers, de son vivant maître de conférences à i'École normale, Soit

/=-/ / cosa(a: — \).f\d\d<i\

et effectuons d'abord l'intégration relative à a erilre les limites o,a, sauf à faire a=:QO après la seconde intégration : il viendra

TT/— 00 x — \ ^ V— 00 s "^ \ a/

en posant Ç = .ir

Or, quand on fait a=QO , on a

excepte pour les valeurs de z qui sont elles-mêmes infinies, valeurs auxquelles on peut se dispenser d^avoir

égard, à cause que le facteur 1 rend infiniment petite la portion correspondante de l'intégrale : on a donc simplement

r = - fx\ dz = fx.

Quand la fonction /"est telle que l'intégration relative à la variable ^, indiquée dans la formule (/i), puisse s'effectuer, cette formule détermine les valeurs d'intégrales définies simples, comme celles qui ont fait l'objet. des deux derniers chapitres. Supposons, par. e](emple,que^ doive se réduire à ^~'*, entre les limites o,qo :on a [407]

218 LIVaX V. CHAPITRE XII.

et en conséquence la formule (n) donne, pour toutes les valeurs positives de ar,

^ a /** cos aurda

~^Jo i+a' ' ce qui s'accorde avec la formule {m) du n® l\ii.

436. Toutes les formules données dans ce chapitre peuvent se généraliser et s'étendre aux fonctions d*un nombre quelconque de variables. Ainsi, en écrivant f[Xyjr) au lieu à^fx^ on tire de la formule de Fourier

f^'^^r) = \j^ J^^ cosa(a:-Ç)./(Ç,r)rfWa, et par la même raison

P, T) désignant deux nouvelles' variables auxiliaires : doue

formule qui subsiste pour toutes les valeurs réelles des variables x^j-. Si les limites d'intégration, relatives aux variables $,to, sont données par le contour d'une courbe tracée dans le plan xj-, l'intégrale quadruple se réduira ^/(^fj) pour les points qui tombent dans l'intérieur de la courbe, et à zéro pour les points.extérieurs. De même l'intégrale sextuple

^/ */ * / * /// ^* a(^ - 5) . cos P(/- Tfi) . cos y(« - 0 . /(Ç,Tï,î>^fi«^^«/Ml pour laquelle les limites des intégrations relatives aux variables Ç, », Ç sont les mêmes que celles du volume d'un corps donné, se réduira 2if{x^j^z) pour tous les points situés dans l'intérieur du coi*ps, et à zéro pour tous les points extérieurs.

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