CHAPITRE PREMIER

♦ DE t.'lNTlêGRATIOW DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES ET DU PREMIER ORDRE.

437. On peut envisager sous deux aspects le problème de l'intégration des équations différentielles- entre deux variables. Sous le premier point de vue, il s'agit de trouver, entre la variable indépendante et la fonction, une équation qui satisfasse de la manière la plus générale à l'équation différentielle proposée, au moyen des valeurs qu'on en déduit pour les coefficiens différentiels des divers ordres. En d'autres termes, il s'agit de trouver l'équation la plus générale des courbes qui jouissent en tous leurs points de la propriété exprimée par l'équation différentielle.

Sous le second point de vue, le problème de l'intégra* tion consiste à déterminer la série des valeurs numéri^ ques par lesquelles doit passer une fonction en partant d'une valeur numérique assignée, quand la loi des variations infinitésimales de la fonction est exprimée par une équation différentielle donnée. Nous verrons qu'il

220 LIVRE VI. — CHAWTRE I.

^e présente des cas où le problème de rintégration des équations difFérentielles ne se résout pas de la même manière, selon qu'on l'envisage sous Tun ou sous l'autre de ces aspects.

On a indiqué [liv. III, chap. Y] les liaisons qui subsistent entre une équation différentielle d'un ordre quelconque, et les intégrales ou les équations primitives des divers ordres dont on peut concevoir que la proposée dérive, par la différentiation immédiate ou par la différentiation combinée avec Télimination des constantes. En nous appuyant au besoin sur les principes posés dans le chapitre cité, nous commencerons par examiner les cas ^ principaux où l'on peut retrouver l'intégrale de laquelle dérive une équation différentielle proposée. Nous étudierons ensuite, sous le second point de vue, la théorie des équations différentielles.

§ I*'. Séparation des variables.

438. La formule générale des équations différentieltes du premier ordre à deux variables est

Si cette équation est algébrique et du premier degré par rapport à^', on peut la mettre sous la fopn>e

9(ar,7)^H-iKa:,7)rfr = o. (2)

L'équation (a) s'intègre toujours, ou du moins l'intégration est ramenée à de simples quadratures , lorsque les variables y sont séparées^ c'est-à-dire lorsque cette équa-^ tiou est mise sous ta forme

fxdx -h ljdy^=o^ L^intégrale générale est alors

ffxdx+ffydy^Ç., C désignant une constante arbitraire, ou

/ fxdx+i fyify=:Oy

J *o Jro

en passant aux iatégrales définies, et en représentant parjTo 1^ valeur de ^ qui correspond à l'abscisse x^. Soit proposée, par exemple, Téquation

ydx — a:dy^o\ (a)

on k mettra sous la forme

dy dx y X et les variables se trouvant séparées, on aura en intégrant log^ — logâ;=:=C, d'où l'on tire^:=ca:, en désignant par c le nombre dont le logarithme est C.

La séparation des variables s'opère immédiatement, toutes les fois que l'équation (i) se présente sous la forme

dy

y=/r.fr, doù '^=fxdx.

439. D'autres fois la séparation ne s'opère qu'au moyen d'une transformation ou d'un changement de variables. Si, par exemple, les .fonctions Ç, i( qui entrent dans l'équation [tl) sont homogènes \^ï'^ol\ par rapport aux variables x^y, on posera jz=xt^ d'où

n désignant la somme des exposants de x et de j^ dans chaque terme de l'équation proposée. En conséquence cette équation, après la suppression du facteur x", deviendra

ft.dx + ftJxdt-\-tdx)z=o.

ou

dx ft.dt X Ji-^tfû équation où les variables sont séparées. C'est ainsi que l'équation

222 LIVRE VI* — GHi.PITRK I.

devient

dx dt

d'où, en intégrant par logarithmes et en repassant ensuite des logarithmes aux nombres,

X* — ncy — c* =o.

En effet, lorsqu'on difTérentie cette dernière équation et qu'on élimine c entre Téquation primitive et sa difFérentiélle immédiate [i6a], on retombe sur l'équation différentielle proposée.

Il arrive en certains cas que l'on peut, par un changement de variables ou de coordonnées, rendre homogène une équation qui ne l'est pas; L'exemple le plus simple de cette transformation nous est fourni par l'équation

{ax + by + e)dx + {a'x + b'jr -\- d)dy^==^ o. Si l'on pose .r=Ç-|-a,^;^=)fi-j-p(cequi revient à déplacer l'origine des coordonnées x,^, sans changer la direction des axes), et si l'on dispose des constantes arbitraires a , P , de manière à satisfaire aux équations de condition

«a + ip + c = o, a'a + i'p -|- c' = o,

réquatioh proposée deviendra

{a\ + *yï>K + {pl\ + Vt\)dt\ = o, et sera rendue homogène. La transformation précédente ne serait plus possible, si l'on avait ab' — ba^=o^ ce qui rendrait infinies les valeurs de a, p. Mais dans ce cas l'climination de b' met i'équation proposée sous la forme

ÉQUATIOirS D0 FBEMIËR OROR£. 223

[ax + by) {dx + — ^j?j) + cdx + &df=. o;

et si Ton pose ax-^-by^izz. t^ on obtient une équation en t,dt,dx^ où les variables se séparent sans difficulté, comme dans toutes celles oîi Tune des variables n'entre quQ par sa différentielle.

§ 2. Équation linéaire du premier ordre.

440. Une transformation très-simple opère aussi la séparation des variables dans l'équation

que l'on nomme équation linéaire du premier ordre, parce qu elle ne contient ni les puissances, ni les produits de la fonctionnel de sa dérivée n'. Soit

8 et t désignant deux fonctions auxiliaires et inconnues de X : la proposée deviendra

Mt + tdB + ^t.fxdx = Ixdx^ Oo peut disposer des fonctions indéterminées t et 6, de manière À décomposer cette équation dans le» deux sui* vantes

%dt^=îxdx^ dA-\-i.fxdxt==iO.

La seconde se prête à la séparation des variables et donne

Après qu'on a substitué cette valeur dans la première, il vient

dt=^{xdx.eff^^ t=rh:dx.eff'^ + C,

ou

y=[fixdx.6ff'^ + C\.e''ff'^\ Exemples, i*

il vient

224 LIVRE VI. -— . CHilPlTfiE I.

7=1 — ^ + Ce-*,

on a

ffxdx^x, fixdx.é'=^^^[x^ — ^^+6{x—i)]^C^ /=— [x^ — 3:r» + 6(a: — i)] 4- Ce-'. * (4j 3^

dans ce cas les exponentielles disparaissent , puisqu'on a

d où Ton tire sans difficulté

On intègre de même l'équation

^" '7 + 7*^ = f J? ; car, pour la ramener à la forme de l'équation (3), il suffit de poser y^=u, Enfin^ si la proposée était

y+Xfx=jmfa;^ (5)

on la ramènerait encore à la forme (3), en posant

/"""'= -. L'équation (5) est connue sous le nom d'équa'

tion de BernoidlL

441. Lorsqu'on intègre une équation différentielle en commençant par séparer les variables, l'intégrale peut se présenter sous une forme mal à propos compliquée : elle peut affecter une forme transcendante, quoique l'équation proposée comporte une intégrale algébrique. C'est ce qu'on a vu [438] sur l'équation très-simple

ydx — xdjr=o^ dont l'intégration, par la séparation des variables^ amène le signe transcendant logy qu'on peut ensuite faire disparaître, en se prévalant des propriétés de la fonction logarithmique. Prenons encore pour exemple Féquation

i/Trp.dx'{- l/i— x*.rf7=o ; (6)

si Ton sépare les variables ell^ deviendra dx dj

et préparée ainsi elle conduira à l'intégrale de forme transcendante % arc sin x + arc sin / == A, (7)

où k désigne la constante arbitraire. Mais, en intégrant par parties chaque terme de l'équation (6), et en désignant par (i. une autre constante arbitraire, on aura , , C xydr C xrdx

Les deux termes de cette équation qui sont affectés du signe/peuyent se grouper en un seul

pourvu que Fon regarde^ comme une fonction implicite de X, déterminée par l'équation (6). Or, en vertu de cette même équation (6), le facteur qui multiplie xy sous le signe /est constamment nul : donc la proposée a pour intégrale algébrique

ou, par l'évanouissement des signes radicaux,

La valeur de la constante (jl dans l'équation (8) est ^elle de la variable j- quand x est nul : si l'on fait à la i^\% x-=.Q^ jz=i\}. dans l'équation (7), elle deviendra T. n. i5

arc sin jjt==A, ce qui ramène cette équation à la forme

arc sin x -f- arc sin y = arc sin jjl. (9)

Il faut que les deux équations (8) et (9), qui sont l'une et l'autre des intégrales complètes de la proposée, la première sous forme algébrique, la seconde sous forme transcendante, rentrent l'une dans l'autre; et en effet, l'identité de ces deux équations résulte de la formule

sin a cos i 4- sin * cos a =3 sin {a + i). Si cette relation n'était pas donnée par la trigonométrie élémentaire y elle résulterait du rapprochement||es formules ( 8 ) et (9); et l'on constaterait ainsi une propriété fondamentale de la fonction transcendante arc sin x^ ou de l'intégrale définie

dx

C'est en procédant d'une manière absolument semblable que nous avons établi, dans le chapitre IV du livre précédent, les formules pour l'addition des fonctions elliptiques.

§ 3. Du facteur propre à rendre l'équation intégrable.

442. Quand le premier membre de l'équation (2) est une différentielle exacte rf.x;^(:i:,^), on trouve cette fonction vi par le calcul indiqué [394], et l'intégrale se présente sous la forme 'd(:i:,^)=:c, c désignant une constante arbitraire. Réciproquement, après qu'on aura obtenu, par un moyeu quelconque, l'intégrale de l'équation (a), concevons qu'on la mette sous la forme x;J(j:,jr)=c, en résolvant l'équation obtenue par rap-

port à la constante arbitraire que rintëgration a introduite : la différentiation donnera

équation dont le premier membre est nécessairement une différentielle exacte, et qui doit subsister en même temps que l'équation (a). On aurla donc

dvi dxi

dx dy

|i désignant en général une fonction de x et de y. Par conséquent, si Ton multiplie le premier membre de l'équation (a) par le facteur (x, ce premier membre deviendra identique avec la différentielle totale dxi^ et satisfera à la condition d'intégrabilité.

Ainsi le premier membre de l'équation {ci) ne satisfait pas à la condition d'intégrabilité; mais comme on a trouTe [438] pour l'intégrale de cette équation

y , xdy—ydx •^=c, dou -5 =0,

on voit que le* facteur -5 est celui qui rend le pre-

mier membre de la proposée une différentielle exacte. De même l'intégrale de l'équation

(7 H- \/x*^j^)dx — xdyz=^ o

pouvant [439] être mise sous la forme

-7+ l/ar»-hj^=c, d'où -^u -^^^^^o

il en résulte que le facteur par lequel il faut multiplier la proposée pour en»rendre le premier membre une différentielle exacte, est

443. II est à remarquer que, quand on connaît une valeur du facteur (x, on peut en déduire une infinité d'autres : car, puisque

on a

(if(trf)[<p(^,jy^ 4- 4<^^)rfr]=f(trfytrf, (lo)

f(ri) désignant une fonction quelconque de la quantité vi dont on connaît la composition en x^/. Or l'expression ({xS)dri est essentiellement une différentielle exacte, et la détermination de la fonction dont elle dérive résulte d'une simple quadrature : donc le premier membre de l'équation (lo)est au9si une différentielle exacte. En d'autres termes, le facteur (jl i{^\ où les fonctions ^^xi sont connues, et où la fonction f peut être particularisée d'une infinité de manières, jouit comme le facteur ^ de la propriété de rendre le premier membre de l'équatioa il) une différentielle exacte.

Prenons pour exemple l'équation (a), et supposons simplement f (xii) :=-^. On a dans ce cas

Ce dernier facteur rendra donc le premier membre de l'équation proposée une différeotielle exacte; et en effet l'on a

. 444. Pour déterminer <i/7r«(9r/ le facteur (JL, il faudrait satisfaire à l'équation

dy dx '

>:quations du premier ordre. 229

ou . .

^ dy ^ dx ^\dy dxj mais rintégration de cette équation qui est aux différences partielles par rapport à la fonction \l des deux variables x,/, suppose en général, comme on le verra par ta suite, rintégration préalable de l'équation (2). Ce n'est que dans des cas très-particuliers que Ton peut assigner le facteur (x et par suite ramener l'intégration de la proposée aux quadratures.

- Si, par exemple, le facteur (x ne devait renfermer que la variable x^ l'équation précédente se réduirait à

I rf|A __ I (dfif d^\

|x * i£r ^1^ V^ dx) ' et en vertu de l'hypothèse , il faudrait que le second membre de cette dernière équatioo se réduisît à une fonction fx de la seule variable x. On aurait donc jj^-g//xrf.^ D'ailleurs on ne restreindra pas la généralité deThypothèse en posant 4'=;= i, puisqu'on peut toujours admettre que l'équation (a) a été divisée par le coefficient de dy; et dès lors, il faudra que le coefficient ^

dy

soit indépendant de j^ ou qu'on ait

fi/^x^)^yfx+{x', c'est-à-dire que ce cas est celui où la proposée se présente sous la forme d'une équation linéaire du premier ordre.