Nous appellerons irrationnelle^ binômes les

fonctions de la forme

p^q désignant des nombres entiers^ et/w, n des nombres quelconques. S\ meX, n sont rationnels, on peut les supposer entiers, sans restreindre la généralité de l'expression, ainsi qu'il est facile de s'en assurer. Les fonctions R^^ sont désignées communément par la dénoininatioa fort impropre de différentielles binômes.

Si Ton pose

a + bar = ^^, il viendra

ainsi ^doç sera rendue rationnelle par cette transfprnia-'

tion, si — est un nombre entier.

L'équation (R,) peut être ainsi écrite :

np p

donc, d'après ce qu'on vient de voir, la fonction Rûtr sera encore rendue rationnelle, si le rapport

se réduit à un nombre entier. Hors des deux cas que

INTEGRATION DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 23

1 oo vient d'indiquer, la différentielle T^dx ne pourra en général être délivrée de l'irrationnalité qui l'aftecte. Quand on fait af=ztj il vient

^dx =. - F~ ' {a + btydt;

donc la détermination de Piiitégrale fKdx se ramène à celle de l'intégrale

fxff^- ' {a 4- bxjdx , {k )

les constantes (x, v, pouvant avoir des valeurs quelconques, entières ou fractionnaires, et même irrationnelles. Or, nous allons faire voir que la détermination de l'intégrale (Je) se ramène toujours à celle d'une autre intégrale où les valeurs des constantes (x, v seraient comprises entre zéro et l'unité.