Appliquons cela à l'équation du second ordre

qui devient, suivant qu'on la multiplie ou qu'on la divise par ûù^

équations dont les premiers membres sont respectivement les différentielles exactes des fonctions

XS = ^/2/, trf.=^- (il)

La proposée a pour intégrales du premier ordre

et pour intégrale seconde, résultant de l'élimination de la fonction^' entre les intégrales premières, C,^*— aj = C.

Dans ce cas, les facteurs qui jouissent de la propriété de rendre le premier membre de la proposée une différentielle exacte , sont exprimés par la formule

dxi X dvi^ '

la composition des fonctions t;^, vi^ étant donnée par les équations (ii)^ et la fonction ^ restant arbitraire.

S 3. Dcft équations différentielles linéaires, (f un ordre quelconque.

455. On nomme équation différentielle linéaire celle qui ne renferme, ni les puissances supérieures à la pre- RÔère, ni les produits de la fonction et de ses coefficients différentiels des divers ordres, et qui est par conséquent de la forme

/(")+ P^C^-O 4- Qj("-») -f- . . . 4- Uj = V, {a)

T. II. l6

P,Qv...U,V désignant des fonctions de la seule variable | indépendante .r. £n général y si l'équation !

est celle qui exprime rigoureusement la loi d'un phénomène; et que de plus, par la nature de ce phénomène, les quantités jr^jr'?/*'? •••7^"^ soient assujetties à rester i toujours très-petites, de façon qu'on puisse négliger les j produits et les puissances supérieures de ces quantités, ' la fonction O se transforme en une fonction linéaire des mêmes quantités variables; et l'équation du problème devient une équation différentielle linéaire. La théorie de l'intégration des équations de cette espèce doit donc attirer notre attention, non-seulement à cause des faits d'analyse très-remarquables qui s'y rattachent, mais aussi à cause de l'importance des applications. ,

Supposons d'abord que le second membre de [a] soit nul , ou qu'on ait à intégrer l'équation

j(«) 4- PjC"-0 + Qj(«-») -I- ... 4- Uj== o. (i) La propriété caractéristique d'une équation de cette forme consiste en ce que, si l'on a diverses valeurs particulières de ^ en fonction de x qui y satisfassent, valeurs que nous désignerons par^„^j,^3, etc., la somme de ces valeurs, multipliées respectivement par des constantes arbitraires Ci,Ca,C3, etc., ou

C,j, -f-C,7, 4-C373 -f-eic, y satisfait pareillement. La forme du calcul sur lequel cette proposition repose, résulte si évidemment de la forme même de l'équation (^), qu'il suffit de l'iiidi- ^ quer. |

Il suit de là que si l'on connaît n valeurs particulières et distinctes, ^.ty, , J^3,. . .jr«, propres à satisfaire

:iéQUATIOIIS DIFFERENTIELLES LimÉiilRES. 243

à l'équation (è), celle-ci aura pour intégrale générale

car cette valeur de y satisfait à la proposée, et à cause des n constantes arbitraires et distinctes qu'elle renferme, elle a toute la généralité qu'une telle intégrale comporte.

456. Or, il est un cas où l'on trouve facilement n valeurs particulières dé y propres à satisfaire à l'équation (é).: c'est celui où tous les coefficients P,Q,....U se réduisent à des constantes ; car si l'on pose y=je^'^ on aura, quelque soit i^y^^z=.nûe'^\ de sorte que cette valeur de y^ substituée dans l'équation {b\ donnera pour résultat

et dès lors, il est visible que la fonction ^/r=:^' satisfait à l'équation (^), pourvu que la valeur assignée au nombre m soit l'une des racines de l'équation numérique

iw" + P»i^-' + Qw»-*-f-... + U=îO. {m)

Donc, si l'on désigne par m^^m^^nii^ m^ les n racines

de cette équation, et par C, ,C„C3, C„ des constantes arbitraires, l'équation {h) a pour intégrale générale

457. Avant d'aller plus loin, il est bon de donner à comprendre pourquoi le cas que nous traitons en ce moment, cas en apparence si particulier, a néanmoins assez d'importance dans les applications [>our mériter un examen spécial. .

D'abord il est <îiair que ce cas comprend celui où le second membre de l'équation {b\ au lieu d'être zéro, se-

rait un nombre Y quelconque; car il suffirait de poser

j^=Y)-|- —, pour réduire à zéro le second membre de la

transformée en v).

Remarquons ensuite que dans la plupart des applications de l'analyse à la physique le temps est la variable indépendante désignée ici par x^ et que cette variable n'entre pas, pour l'ordinaire, autrement que par ses différentielles, dans les équations des problèrnes. Si, par exemple, il s'agit d'une question de mécanique, les forces qui sollicitent un système matériel ne varieront communément qu'avec les distances respectives des parties du système : elles seront des fonctions explicite^ de ces distances à une époque quelconque, et ne dépendront pas explicitement du temps écoulé depuis l'instant pris pour origine.

458. Lorsque toutes les racines de l'équation (/n) sont réelles et inégales, on vérifie aisément que les constantes arbitraires Cx,Ca,C3 ,. ..C„ peuvent toujours être numériquement déterminées au moyen des valeurs initiales

7o,7'o,j"o,...ro^"-'\ (o)

correspondant à .r=o. Soit, par exemple, /i=3, on aura

d'où l'on tire

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIAFS. 245

La symétrie de ces formules indique suffisamment la. loi des expressions qu'on obtiendrait , si Ton avait un plus grand nombre de constantes arbitraires à déterminer, au moyen des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées.

Si l'on sait, par la nature de la question, que la grandeurs^ ne peut pas croître indéfiniment avec a;, il faut nécessairement supposer nulles les constantes arbitraires Q qui correspondent à des racines positives rrii de l'équation (m). Alors les valeurs initiales (o) ne peuvent plus être données arbitrairement; mais il faut qu'il y ait entre elles autant d'équations de condition que l'équation (m) admet de racines positives. On doit remarquer ce mode de réduction du nombre des constantes arbitraires, d'après des considérations tirées de la forme des fonctions, indépendamment des valeurs numériques de leurs paramètres. Des considérations du inême genre reviennent fréquemment dans les applications dç l'analyse • aux questions physiques.

459. Si l'équation {ni), avait des racines imaginaires, les exponentielles devenues imaginaires se conjugueraient deux à deux et se transformeraient en sinus et cosinus d'arcs réels. x\insi, aztpj/^i désignant deux racines imaginaires conjuguées de l'équation (m), les termes exponentiels que ces racines aipènent dans l'intégrale générale, savoir

se changent en

==^[(C,-f-COcosp^+(C.— C.)v/~.sinp:r], et Çnalement prennent la forme

^(M cos p^ •+- jM sin p^?),

246 LIVRE Vï. CHAPITRE II.

quand on établit entre les constantes indéterminées Cx,C,,M,N les deux relations

On peut encore simplifier cette expression en posant

M ="X cos ty N = — X sin E, ce qui donne

e^(M cos p:r -h N sin ^r) = V»* cos(pjf + 0 : alors "ky 6 sont les deux constantes arbitraires.

Si la partie réelle a du couple de racines imaginaires que nous considérons, est négative, le facteur é^ décroît indéfiniment pour des valeurs croissantes de Xj tandis que le facteur >[ cos (fia: H- e) oscille périodiquement entre les valeurs — \ et -{-'k: la fonction donnée par le produit de ces deux facteurs éprouve donc des oscillations périodiques dont l'amplitude va en décroissant très-rapidement pour des valeurs croissantes de x. Au contraire, pour a positif, l'amplitude des oscillations de la fonction irait en croissant avec une grande rapidité et au delà de toute limite^ ce qui est manifestement incompatible avec la loi de tout phénomène naturel. Un cas semblable ne saurait avoir qu'une existence purement abstraite.

Lorsque l'équation (m) n'a que des racines imaginaires dont les parties réelles s'évanouissent, la valeur complète de^ est une suite de termes de la forme

Xcosfpj?-f-e). (ti)

Imaginons que jy désigne la quantité variable avec x, dont une grandeur s'écarte en plus ou en moins de sa valeur moyenne y), ou ce que les astronomes appellent plus brièvement Yinégalilé de yi : cette inégalité sera la somme de plusieurs inégalités périodiques, exprimées chacune par un terme de la forme (yi). La constante X

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES. 247

se nomme le coefficient de l'inégalité; elle en détermine \ amplitude^ et dépend ^ ainsi que la constante e, des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées. I^e nombre ^ détermine \ étendue de la période, puisque l'inégalité reprend les mêmes valeurs pour des valeurs de x dont la

diiFérence est — : la grandeur de ^ est donnée par Té-

quation difîérentielle, indépendamment des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées. Toutes ces considérations sont d'une application fréquente, à l'occasion des phénomènes soumis à la loi de périodicité.

460. Lorsque quelques-unes des racines de l'équation (w) deviennent égales entre elles, l'analyse précédente se< trouve en défaut. Soit, par exemple, /w,=/w, : les termes C,Éf"**-|-Ca^** se confondront en un seul (Ci-|-C,)^'"'% et le coefficient C,-|-C, n'équivaudra qu'à une seule constante arbitraire [i64], en sorte que l'intégrale (<?)

n'aura plus la généralité requise. Dans ce cas , si nous

posons

la substitution de cette valeur dans l'équation [h) donnera

-l-B.e"''[/iw,«-'+(/i-i)P/»,«-*+(/i-2)Q/w,'*-'+..+T]=o. I^e facteur

s'évanouit, puisque w, est racine de l'équation {m)\ et le polynôme qui multiplie B,^'' s'évanouit aussi, puisque, par hypothèse, /w, étant une racine double de l'équation (w), est aussi une racine de l'équation dérivée /iw"-' 4- (« — i)Pw»-* + (/^— a) Qw-^-h . . . -hT=o.

248 tIVRE VI. CHAPITRE H.

Donc, si l'on continue de désigner par m3y....m^ les racines simples de l'équation (m\ et si l'on pose

^= «"«' (A, + B,x) + €3^3* + . . . 4- C^«^ on satisfera à l'équation (b) dont on aura ainsi l'intégrale générale, à cause que les constantes Aj^Bi^CavOiy ^^ nombre n^ sont irréductibles entre elles.

On trouverait de même que, dans le cas de trois racines égales iw,,/Wa,/W3, il faut remplacer le trinôme

C,e*i' + G^er^' + €36*3* (i3)

par

et ainsi de suite.

La forme que prend l'intégrale générale dans le cas oii l'équation (m) a des racines égales, résulte encore du calcul suivant.

Au lieu de poser immédiatement mf=m^j faisons d'abord /w,=:7W,-j-c, ce qui donnera

en substituant à e" la série toujours convergente qui en est le développement, i^^est permis de mettre cette expression sous une autre forme, en changeant de constantes arbitraires, et en posant pour cela Gi-|-C,=A„ C,e=B,. De cette manière, l'expression çi-dessus devient

et si l'on fait maintenant e=:o, elle se réduit au second membre de l'équation (la)^

Le trinôme (i3) ayant été remplacé par

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES. 249

dâQs le cas où les deux racines m^, m, deviennent égales, on pourra faire /»3==/w,-}-e, ce qui change lexpression précédente en

«-''(A.-f-B^-f-Ca^")

eV

=:^''[A, + B,a: + C3(H H + -j::^ + etcO].

Rien n'empêche de changer de constantes en posant

A, + C3=D., B. + C,e=E., |C,e»t==F.; au moyen de quoi le second membre de Téquation précédente devient

^-'Fd. + E^^H- F,x'+ f/?|. + etc.^1 ,

et se réduit à

tf»«'(D, + E,a:4.F,^»),

lorsqu'on fait 8=0. La même méthode s'applique évidemment au cas où le nombre des racines égales devient quelconque. Il est bon de connaître cette méthode que les analystes ont souvent employée dans des cas analogues et plus compliqués; bien qu'elle soit sujette à quelques difficultés qui disparaissent lorsqu'on justifie directement, comme nous l'avons fait d'abord, la forme attribuée à l'intégrale générale, dans l'hypothèse où Téquation {m) acquiert des racines égales.

461. L'équation {b) peut rarement s'intégrer Ibrsque les coefficients sont des fonctions de x. Prenons pour exemple l'équation du second ordre

si I on pose

elle devient

+ z» + P2+Q = o; et lorsque cette équation du premier ordre en^ et a;

peut s'intégrer, par la séparation des variables ou autrement, on a par les quadratures la valeur de^ en x.

En général, si Ton substitue dans l'équation {b) la valeur de j- en z donnée par l'équation {d\ la transformée en zêta: s'abaisse à l'ordre /2 — i,mais en cessant d'être linéaire.

On intègre les équations linéaires de la forme {a -F *x)«7(»)4- P(a + *^)— »j(«-0 + Q(a -f, ia:)«-y»— ) . . . . . . -t- T(a4-*^)+ U = o, (e)

oii P,Q5 T,U désignent encore des coefficients constants, en posant ^;'^=(a-j-èa:)"', ce qui donne, pour déterminer m, l'équation algébrique du degré n

Q / % / os Tw u

en sorte que, si l'on désigne par m^^m^^ m^ les n racines de cette équation, et par C„C,, C. des constantes arbitraires, l'équation {e) a pour intégrale générale

, Cette intégrale est donc transcendante, à moins que l'équation en m n'ait toutes ses racines rationnelles.

462; Si l'on connaissait une valeur particulière ^„ propre à satisfaire à l'équation {b\ on pourrait abaisser d'une unité l'ordre de l'équation {b) et même l'ordre de l'équation {a). Pour cela il suffirait de faire

y=yjzdx, {/)

z désignant, comme ci-dessus, une nouvelle variable, fonction de x. Remarquons à cet effet que, si l'on désigne par UjV des fonctions quelconques d'une même variable indépendante, on a :

ÉQUATIONS DIFFÉREllTIBLLES LINÉAIRES. 251

d, us> = udsf + \>du^

£n conséquence de ces formules, la substitution de la valeur de y dans l'équation (a) donne

Or, le coefficient de/^dîr dans cette équation est nul par hypothèse, puisque^, est une intégrale particulière de l'équation (b). Si l'on divise cette équation par^, qui est une fonction *conQue de x^ on la ramènera donc à la

forme

zin- «)+ p,z(«-») + Q.zC—s) 4. . . . + T,z = - , . (aj

P„Q„. . .T,, désignant comme P,Q,. . . .T, des fonctions connues de x^ et l'ordre de l'équation {a) se trouvera "khaissé d'une unité.

Dans le cas où il s'agit d'intégrer, non pas l'équation (aj, mais l'équation (é), la dernière équation obtenue est remplacée par

2(«-0 + p^z(»-.) + Q^zC--^) + . . . ^ T,a = o. (A,)

Dans cette hypothèse, si l'on connaissait une seconde valeur particulière ^„ propre à vérifier l'équation (è), l'une des valeurs de z tirées de l'équation {b^ devrait vérifier l'équation (/*), après qu'on y aurait remplacé/ parj,. On aurait donc, en désignant par z, cette valeur particulière de z,

y-=yj^^àx, ou z^r= J^ .

Donc, si l'on connaît deux intégrales particulières de 1 équation (^), on connaîtra par cela même une intégrale particulière de l'équation (è,); et par suite l'ordre de l'équation (A,) s'abaissera d'une unité au moyen de la transformation z-=zz^fudx. Comme ce raisonnement peut être continué de proche en proche, il s'ensuit que si l'on connaît m intégrales particulières de l'équation (^), l'intégration générale de cette équation, et même celle de l'équation (a), seront ramenées à dépendre de l'intégration d'une équation/ différentielle de l'ordre n — m\ de façon que celle-ci étant intégrée, on aura l'intégrale générale de l'équation {a) par de simples quadratures. Ce beau théorème est dû à Lag^ange ; mais ia démonstration donnée ci-dessus, a l'avantage, comme M. Libri l'a fait voir dans un mémoire fort intéressant ('), de mettre parfaitement en lumière les analogies qui rattachent étroitement la théorie des équations algébriques à celle de l'intégration des équations différentielles linéaires.

463. Quand les coefficients P,Q, .... U de l'équation {a) sont des nombres constants, le dernier terme Y étant seul fonction de x^ on connaît n intégrales particulières *de l'équation {b).

nii^m^j. . . .//^„ désignant toujours les racines de l'éqiia- • tion {rn). L'intégration générale de 1 équation (a) se trouve donc ramenée aux quadratures.

(■) Journal de mathématiques de M. Crelle, ton». X.

lÊQUATlONS DIFfERElTTIELLES LIN1ÉA.IRES. 253

Soit, par exemple, l'équation linéaire du second ordre

où P,Q désignent des nombres constants : m^</n^ sont les racines de J'équation numérique

et l'on a

Posons

y = y^zdx = e^^'J zdûc :

la transformée en z sera

z' -h (a/w, + P)^ == Vô-'»«% ou -3' - (/», — /w Jz == Vtf-*»*,

à cause de P= — {pii^rn^. Faisons en outre

la transformée en u donnera

/Wa /Wt

De là on tire

ou bien^ en intégrant par parties,

Les deux intégrales indéfinies sont censées renfermer chacune une constante arbitraire.

Lorsque m^^m^ sont deux racines imaginaires conjuguées, de la forme a±P|/IIï^ l'expression précédente se change en

7 = -~ (sin ^xfSfT^ cos p^p . flùi? — cos ^fVer^sïn ^x.dx).

Enfin, si Ton avait /7i,=7W,, le second membre de l'équation (A) se présenterait sous la forme ~ ; mais, en pre-

254 LIVRE VI. — GH4prraE n.

nant les dérivées du numérateur et du dénominateur par rapport au paramètre m^^ et en posant ensuite m;=m^j on trouverait pour ce cas

464. Nous ne quitterons pas ce sujet sans faire connaître la méthode employée communément pour démontrer le théorème du n** 462.

Supposons d'abord que Ton connaisse n intégrales particulières de l'équation (è), de manière qu'on ait pour l'intégrale générale de cette équation

r^C,/, + C.7, + C373 4-. . .+C^„ : (0 nous disons que cette valeur de y peut encore être prise pour l'intégrale générale de l'équation (a), pourvu que l'on considère les facteurs C,,C,,. . . .C„, non plus comme des constantes, mais comme des fonctions de x, qu'il s'agit de déterminer convenablement.

Dans cette hypothèse en effet, l'on a

/ =c,y , -hC.y . +C3/3 +. . .-f-c„/„

(C/ désignant la dérivée de Q par rapport à x\ et si l'on assujettit les fonctions d- à vérifier l'équation

7xC\-4-/.C\+73C'3 4-...+7«C'„ = o, il reste

j'=cy,+c,y,+C3/3+...+a/„,

comme dans le cas où les facteurs Q sont des constantes.

De cette dernière équation l'on tire

ou simplement m

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINlÉAIRES. 255

quand on assujettit les dérivées C^i à vérifier l'équation de condition

/.c. -f-y.c\+/3C'3+. . .-hy„c„=o.

En continuant de la sorte, on trouve que la valeur dej* donnée par l'équatioa (i\ et qui par hypothèse vérifie 1 équation (b\ satisfait aussi à l'équation (a)j pourvu que les dérivées C\ vérifient le système des équations de condition

• 7x Ci\+7. G'. +73 C'3 + ...+7„ C'„=o,

Or, de ces équations en nombre n on tire la valeur de chaque inconnue C\ égale à une certaine fonction -cJ^^r, et par conséquent une simple quadrature donne

G, =ifxiixdx + Ci y Ci désignant une nouvelle constante arbitraire. On obtient donc de cette manière, par de simples quadratures, Fintégrale générale de l'équation (a), avec les n constantes arbitraires qu'elle comporte.

Supposons maintenant que l'on ne connaisse que n — I intégrales particulières de l'équation (^) ; et afin de simplifier l'exposition, prenons pour types des équations (a) et (b) les équations du 4* ordre

r^+Py+Q7"+T/+iir=v, (i4)

J^^+Pj'" + Qr"+Tj'+Ujz=o :

/•„ j„/3 désignant trois fonctions connues de x qui satisfont à la dernière équation. Si l'on veut que la fonction

r=G,rxH-G,j.-hG373 /' (i5)^

satisfasse à TéquatioD (14)9 on peut encore établir entre

les facteurs inconnus C, 9 C, , C3 les deux équations de

condition

7'.C'.+y,C\+/3CS=o;f ^'^^

au uioyen de quoi les valeurs dej/^y^ conservent la même forme que si les facteurs C„C,,C3 étaient constants; mais les valeurs dey'\y contiennent les premières et les secondes dérivées de ces mêmes facteurs ; et pour que la fonction (i5) satisfasse à réquation(i4)9 il faut encore assujettir les facteurs C,,C„C3 à vérifier une troisième équation C . (2/" . +Py' . ) -i-C' ,(a/". +Pr".) + C ,(a/", +P/3)

On tirera des équations (16) et de leurs différentielles les valeurs de C'„C'3,C".,C"3 en fonction de C'.,C'.; et on les substituera dans l'équation (17) qui deviendra une équation du second ordre par rapport à C^,Xj ou du premier ordre par rapport à C'„x. Celle-ci étant intégrée, on aura la valeur de C, en x, et par suite celles de Cs^Cs en x au moyen de simples quadratures. Les quatre intégrations ou quadratures auront amené quatre constantes arbitraires, de sorte que l'intégrale (i 5) jouira de toute la généralité requise.

En suivant absolument la même marche^ on prouverait généralement que l'intégration de l'équation (a) ne dépend que de l'intégration d'une équation de l'ordre n — m y et de m quadratures subséquentes, lorsqu'on connaît m intégrales particulières de l'équation (p).